Нётерово пространство

Нётерово простра́нство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств[1][2]. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств пространства X такой, что:

существует целое число r, что

Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество компактно.

Эквивалентные определенияПравить

Топологическое пространство   называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

СвойстваПравить

  • Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным)[3].
  • Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством Нётер[1][3].
  • Если пространство   можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то   само нётерово[1].
  • Нётерово пространство   представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонент[1][2].

ПримерыПравить

Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии.

 

есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:

 

является возрастающей последовательностью идеалов   (  обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке  ). Поскольку   является кольцом Нётер, существует целое число  , такое что:

 

Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами   и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами   выполняется   для всех i. Поэтому:  

  • Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если   — кольцо Нётер, то пространство   (спектр  ) является нётеровым[1].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить