Открыть главное меню

Область определения функции

(перенаправлено с «Область определения»)

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

ОпределениеПравить

Если на множестве   задана функция, которая отображает множество   в другое множество, то множество   называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция  , которая отображает множество   в  , то есть:  , то множество   называется областью определения[1] или областью задания[2] функции   и обозначается   или   (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве   некоторого множества  . В этом случае множество   называется областью отправления функции  [3].

ПримерыПравить

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функцииПравить

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

  • вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида  ;
  • а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида  ,

где   и   — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображениеПравить

Область определения функции   совпадает с областью отправления (  или  ).

Гармоническая функцияПравить

Область определения функции   представляет собой комплексную плоскость без нуля:

 ,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.

Дробно-рациональные функцииПравить

Область определения функции вида

 

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

 .

Эти точки называются полюсами функции  .

Так, например,   определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где  . Таким образом   является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

МераПравить

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

ФункционалПравить

Пусть   — семейство отображений из множества   в множество  . Тогда можно определить отображение вида  . Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку  , то можно определить функцию  , которая принимает в «точке»   то же значение, что и сама функция   в точке  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. В. А. Садовничий. Теория операторов. — М.: Дрофа, 2001. — С. 10. — 381 с. — ISBN 5-71-074297-X.
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  3. В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 12—14. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.

ЛитератураПравить

  • Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
  • И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
  • Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
  • В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
  • Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
  • А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — Вып. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.