Открыть главное меню

Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей (нейтральным элементом относительно умножения) и без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Диаграмма включения некоторых классов колец:
коммутативные кольца
целостные кольца
факториальные кольца
области главных идеалов
евклидовы кольца
поля

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

ПримерыПравить

  • Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел  .
  • Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
  • Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо   многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо   многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
  • Множество действительных чисел вида   есть подкольцо поля  , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида  , где   и   целые (множество гауссовых целых чисел).
  • Пусть   — связное открытое подмножество комплексной плоскости  . Тогда кольцо   всех голоморфных функций   будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
  • Если   — коммутативное кольцо, а   — идеал в  , то факторкольцо   целостное тогда и только тогда, когда   — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементыПравить

Пусть   и   — элементы целостного кольца  . Говорят, что «  делит  » или «  — делитель  » (и пишут  ), тогда и только тогда, когда существует элемент   такой, что  .

Делимость транзитивна: если   делит   и   делит  , то   делит  . Если   делит   и  , то   делит также их сумму   и разность  .

Для кольца   с единицей делители единицы, то есть элементы  , делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в   имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы   и   называются ассоциированными, если   делит   и   делит  .   и   ассоциированны тогда и только тогда, когда  , где   — обратимый элемент.

Ненулевой элемент  , не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.

Ненулевой необратимый элемент   называется простым, если из того, что  , следует   или  . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце  , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если   — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал   будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

СвойстваПравить

  • Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
    • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
  • Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
  • Тензорное произведение[en] целостных колец тоже будет целостным кольцом.
  • Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщенияПравить

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

ЛитератураПравить

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.