Обобщённая формула Гаусса — Бонне

Обобщенная формула Гаусса — Бонне — интегральная формула, выражающая эйлерову характеристику замкнутого чётномерного риманова многообразия через его кривизну. Это прямое обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.

ИсторияПравить

Обобщённая формула Гаусса — Бонне была доказана независимо и почти одновременно Вейлем[1] и Аллендорфером[2] для замкнутых Римановых многообразий, допускающих изометричные вложения в евклидово пространство. (Идея доказательства состояла в подсчёте степени Гауссова отображения гиперповерхности образованной границей малой трубчатой окрестности данного подмногообразия.) На этот момент не было известно все ли многообразия допускают такие вложения — теорема Нэша о регулярных вложениях была доказана только в 1956 году.

В 1945 году, Черн[3] обобщил формулу на случай всех Римановых многообразий.

ФормулировкаПравить

Пусть  компактное ориентируемое 2n-мерное риманово многообразие без края, и   — его форма кривизны. Заметим, что форма   может рассматриваться как кососимметричная матрица, чьи компоненты являются 2-формами на  . В частности,   — это матрица над коммутативным кольцом

 

Поэтому можно посчитать её пфаффиан  , который является 2n-формой.

Обобщенная формула Гаусса — Бонне может быть записана как

 ,

где   обозначает эйлерову характеристику  .

ПримерыПравить

  • В размерности 2 формула превращается в обычную формулу Гаусса — Бонне
  • В размерности четыре формулу можно переписать следующим удобным способом:
     ,
где   — это полный тензор кривизны,  тензор Риччи, и  скалярная кривизна.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Weyl H. On the volume of tubes. Amer J Math, 61: 461–472 (1939)
  2. Allendoerfer C B. The Euler number of a Riemannian manifold. Amer J Math, 62: 243–248
  3. Chern, Shiing-Shen (1945), On the curvatura integra in Riemannian manifold, Annals of Mathematics Т. 46 (4): 674–684, DOI 10.2307/1969203