Обобщённый потенциал

Обобщённый потенциал — понятие классической механики, применяемое для удобного вычисления обобщённых сил, зависящих от обобщённых скоростей[1].

Формулировка править

Рассмотрим механическую систему с   степенями свободы, с кинетической энергией   и обобщёнными силами  . Здесь всюду  . Рассмотрим выражение для потенциальной энергии в виде функции  . Потребуем, чтобы уравнения Лагранжа

 ,

имели вид

 , где  ,   - обобщённый потенциал.

Обобщённым потенциалом называется функция  , удовлетворяющая уравнению

 ,

Найдём зависимость функции   от обобщённых скоростей.

 

Так как обобщённые силы явно от обобщённых ускорений не зависят, то обобщённый потенциал может быть только линейной функцией от обобщённых скоростей:

 

Далее:

 .

Таким образом:

 , где  

В случае, если функции   не зависят явно от времени, то обобщённые силы складываются из потенциальных сил   и гироскопических сил  .[2]

Пример править

Рассмотрим силу Лоренца, действующую на точечный электрический заряд в электромагнитном поле:  , где   - электрический заряд,   - скорость заряда,   - напряжённость электрического поля,   - индукция магнитного поля,   - скорость света. Обобщённый потенциал для силы Лоренца можно ввести формулой:  , где   - скалярный потенциал,   - векторный потенциал [3][4]

Примечания править

  1. Бутенин, 1971, с. 115.
  2. Бутенин, 1971, с. 117.
  3. Бутенин, 1971, с. 118.
  4. Л. Д. Ландау Е. М. Лившиц Теория поля, Физматгиз, 1962

Литература править

  • Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.