Образ (математика)

Образ функции — это множество всех значений, которые даёт функция.

— это функция из области определения в кодомен . Жёлтый овал внутри — это образ функции .

В более общем виде, вычисление значения заданной функции для каждого элемента заданного подмножества области определения функции даёт множество, называемое «образом для функции ». Аналогично, обратный образ (или прообраз) заданного подмножества кодомена функции — это множество всех элементов области определения, которые отображаются в элементы множества .

Образ и обратный образ могут также быть определены для общих бинарных отношений, а не только функций.

ОпределениеПравить

Слово «образ» используется тремя связанными способами. В этих определениях   — это функция из множества   в множество  .

Образ элементаПравить

Если   является элементом множества  , то образ элемента   для функции  , обозначаемый  [1], — это значение функции   для аргумента  .

Образ подмножестваПравить

Образ подмножества   для функции  , обозначаемый  , является подмножеством множества  , которое может быть определено с помощью следующей формы записи[2]:

 

Если нет риска путаницы,   записывается просто как  . Это соглашение является общепринятым. Предполагаемый смысл должен быть определён из контекста. Это делает f[.] функцией, областью определения которой является степень множества X (множество всех подмножеств множества X), а кодоменом является степень множества Y. См. раздел § Обозначения.

Образ функцииПравить

Образ функции — это образ всей области определения, известный также как область значений функции[3].

Обобщение к бинарным отношениямПравить

Если   является произвольным бинарным отношением на X Y, то множество   называется образом отношения  . Множество   называется областью определения отношения  .

Обратный образПравить

Пусть   будет функцией из   в  . Прообраз или обратный образ множества   для функции  , обозначаемый  , — это подмножество   определённое как:

 

Возможны и другие обозначения, как, например:  [4] и  .[5]

Обратный образ синглтона, обозначаемый   или  , называется также слоем для   или множеством уровня элемента  . Множество всех слоёв для элементов   — это семейство подмножеств, индексированных элементами  .

Например, для функции   обратным образом   будет  . Снова, если нет риска путаницы,   может обозначаться как  , а   можно рассматривать как функцию из множества всех подмножеств (булеана) множества   в булеан множества  . Обозначение   не следует путать с обратной функцией, хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций в том, что обратный образ   для   является образом   для  .

Обозначения для образа и обратного образаПравить

Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут вызвать сложности в понимании. Альтернативой[6] является задание явных имён для образа и прообраза функций между булеанами:

Стрелочные обозначенияПравить

  •   для  
  •   для  

Обозначения со звёздочкамиПравить

  •   вместо  
  •   вместо  

Другая терминологияПравить

  • Альтернативные обозначения  , используемые в математической логике и теории множеств, это  [7][8].
  • Некоторые книги называют образ   областью значений  , но этого следует избегать, поскольку термин «область значений» используется широко также для обозначения кодомена функции  .

ПримерыПравить

  1.   определена как  
    Образом множества {2, 3} для функции   является  . Образ функции   — это  . Прообразом   является  . Прообразом множества   также является  . Прообразом множества   является пустое множество  .
  2.   определена как  .
    Образ   для функции   — это  , а образ функции   — это  . Прообраз   для   — это  . Прообраз множества   для   — это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве вещественных чисел.
  3.   определена как  .
    Слои   являются концентричными окружностями вокруг начала координат, единственная точка начала координат или пустого множества в зависимости от того,  ,   или   соответственно.
  4. Если   — это многообразие, а   — это каноническая проекция из касательного расслоения   в  , то слоями отображения   являются касательные пространства   для  . Это также пример расслоённого пространства.
  5. Факторгруппа — это гомоморфный образ.

СвойстваПравить

КонтрпримерыПравить

Контрпримеры на основе  ,
показывающие, что это равенство обычно
не выполняется для некоторых законов:
 
 
 
 
 
 

Общий случайПравить

Для любой функции   и всех подмножеств   и   выполняются следующие свойства:

Образ Прообраз
   
   
 
(равны, если  , т.е.   сюръектвна)[9][10]
 
(равны, если   инъективна) [9][10]
   
   
   
   
   
   [9]
 [11]  [11]
 [11]  [11]

Также:

  •  

Для нескольких функцийПравить

Для функций   и   с подмножествами   и   выполняются следующие свойства:

  •  
  •  

Несколько подмножеств домена или кодоменаПравить

Для функции   и подмножеств   и   выполняются следующие свойства:

Образ Прообраз
   
 [11][12]  
 [11][12]
(равны, если   инъективны[13])
 
 [11]
(равны, если   инъективна[13])
 [11]
 
(равны , если   инъективна)
 

Результаты для образов и прообразов (булевой) алгебры пересечений и объединений работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:

  •  
  •  
  •  
  •  

(Здесь   может быть бесконечным множеством, даже несчётным.)

Что касается описанной выше алгебры подмножеств, обратная отображающая функция — это гомоморфизм решётки, в то время как отображающая функция — это лишь гомоморфизм полурешёток (т.е., она не всегда сохраняет пересечения).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Compendium of Mathematical Symbols (англ.). Math Vault (1 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 6 декабря 2020 года.
  2. 5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets (англ.). Mathematics LibreTexts (5 ноября 2019). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 27 октября 2020 года.
  3. Weisstein, Eric W. Image (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 19 марта 2020 года.
  4. Comprehensive List of Algebra Symbols (англ.). Math Vault (25 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020. Архивировано 1 апреля 2020 года.
  5. Dolecki, Mynard, 2016, с. 4-5.
  6. Blyth, 2005, p. 5.
  7. Rubin, 1967.
  8. M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU Архивная копия от 7 февраля 2018 на Wayback Machine, December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2
  9. 1 2 3 Halmos, 1960, с. 39.
  10. 1 2 Munkres, 2000, с. 19.
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011, с. 388.
  12. 1 2 Kelley, 1985, p. [[1] в «Книгах Google» 85]
  13. 1 2 Munkres, 2000, с. 21.

ЛитератураПравить