Функция (математика)

(перенаправлено с «Образ (математика)»)

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

График функции
.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной однозначно определяет значение выражения , также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. «Житейский» пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологического отца.

Аналогично, заранее заданный алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

ИсторияПравить

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному[1][2].

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год)[3].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение[2].

ОпределениеПравить

 
Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.

Функцией  , определённой на множестве   со значениями в множестве   называют «правило»   такое, что   (каждому элементу   соответствует элемент   лежащий в   и притом только один)[4].

Принятые обозначения:  ,  , сокращённо пишут   или же просто  .

Графиком   называют  , где  прямое произведение.

Вообще говоря, понятия функции и её графика эквивалентны, а поскольку последнее определено математически более строго, формальным (с точки зрения теории множеств) определением функции является её график[4].

Для функции  :

  • множество   называется о́бластью задания или областью определения функции, обозначается   или  ;
  • множество   называется о́бластью значе́ний функции, обозначается   или   ( );
  • каждый элемент   множества   называется независимой переменной или аргументом функции;
  • элемент  , соответствующий фиксированному элементу   называется частным значением функции в точке  .

Замечания:

  • Функцию  , для которой  , называют отображением заданного множества в себя или преобразованием, в частности, если  , то говорят о тождественном преобразовании, часто обозначаемом  .
  • Если используется термин оператор, то говорят, что оператор   действует из множества   в множество   и добавляют запись  .
  • Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия считается известным, то говорят, что на множестве   задана функция  , принимающая значения из  . Если функция   должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что   — неизвестная или неявно заданная функция. При этом функция всё равно считается заданной, хотя и косвенно.
  • Поскольку равенство функций (в любом её определении) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции   и  , где   — множество вещественных чисел, а   — множество положительных вещественных чисел, являются разными функциями.
  • Также существует и операторное обозначение функции  , которое можно встретить в общей алгебре.
  • В лямбда-исчислении Чёрча для функции используется обозначение  .

Функции нескольких аргументов:

 
График функции двух переменных  

Вообще говоря, функция может быть задана на линейном пространстве, в таком случае имеют дело с функцией нескольких аргументов.

Если множество   представляет собой декартово произведение множеств  , тогда отображение   (где   — множество вещественных чисел), оказывается  -местным отображением; при этом элементы упорядоченного набора   называются аргументами (данной  -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

  где  .

В этом случае запись   означает, что  .

Способы задания функцииПравить

Аналитический способПравить

Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства.

Примеры:

Функция, заданная одной формулой:

 

Кусочно-заданная функция:

 

Неявно заданная функция:

 

Графический способПравить

 
График  

Функцию можно также задать с помощью графика. Пусть   — вещественная функция   переменных. Тогда её графиком является множество точек в  -мерном пространстве: . Это множество точек часто является гиперповерхностью. В частности, при   график функции в некоторых случаях может быть изображён кривой в двумерном пространстве.

Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например, каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике, как бывает на графиках комплексных функций).

Общие свойстваПравить

Композиция отображенийПравить

Пусть заданы два отображения таких, что множество значений первого является подмножеством области задания второго. Тогда последовательное действие первого и второго отображений на всякий аргумент первого отображения однозначно сопоставляет элемент из области значений второго отображения:

 

В таком случае,   называется композицией отображений   и  , оно обозначается выражением  , которое читается «  после  ». Вообще говоря, композиция некоммутативна:   или  

ИнъекцияПравить

Функция   называется инъективной (или просто инъекцией), если любым двум различным элементам   из множества   сопоставляются так же различные (неравные) элементы из множества  . Более формально, функция   инъективна, если из  . Иначе говоря,   инъективна, если  .

СюръекцияПравить

Функция   называется сюръективной (или просто сюръекцией), если каждому элементу множества   может быть сопоставлен хотя бы один элемент множества  . То есть функция   сюръективна, если  .

Такое отображение называется ещё отображением множества   на множество  . Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением множества   в множество  .

БиекцияПравить

Функция, одновременно сюръективная и инъективная, называется биективной или взаимно однозначной (коротко биекцией).

Обратная функцияПравить

Если функция   является биекцией, то существует  , для которой  .

Функция   в таком случае называется обратной по отношению к  ; кроме того,   также биективна.

Пояснение:

Так как   инъекция, то   вообще говоря функция, из сюръекции   следует в свою очередь, что   задана на  . Функция   инъективна, поскольку   функция, сюръективность же её следует следует из её определения.


В общем случае, отображение, у которого существует обратное, называется обратимым. Свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий:   и  .

Сужение и продолжение функцииПравить

Пусть дано отображение   и множество   являющееся строгим подмножеством множества  

Отображение  , которое принимает на   те же значения, что и функция  , называется суже́нием (или иначе ограничением) функции   на множество  .

Сужение функции   на множество   обозначается как  .

При этом исходная функция   напротив, называется продолжением функции   на множество  .

Образ и прообразПравить

Образ и прообраз (при отображении), значение в точкеПравить

Элемент  , который сопоставлен элементу  , называется образом элемента (точки)   (при отображении  ) или значением отображения   в точке  .

Если взять целиком подмножество   области задания функции  , то совокупность образов всех элементов этого множества, то есть подмножество области значений (функции  ) вида

 ,

называется образом множества   при отображении  . Это множество иногда обозначается как   или  .

Образ всей области определения функции называется образом функции или, если функция является сюръекцией, вообще называется областью значений функции.

И, наоборот, взяв некоторое подмножество   в области значений функции  , можно рассмотреть совокупность всех элементов области задания функции  , чьи образы попадают в множество  , то есть множество вида

 ,

которое называется (полным) прообразом множества   (при отображении  ).

В частности, когда множество   состоит из одного элемента — допустим,  , — то множество   имеет более простое обозначение  [источник не указан 113 дней].

Свойства образов и прообразовПравить

Свойства образовПравить

Пусть   и   — подмножества области задания функции  . Тогда образы множеств   и   при отображении   обладают следующими свойствами:

  •  ;
  •  ;
  •  .
  • образ объединения множеств равен объединению образов:  
  • образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов:  .

Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение обратимо (см. выше), то прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

  • образ пересечения равен пересечению образов:  .

Свойства прообразовПравить

Пусть   и   — подмножества множества  . Тогда прообразы множеств   и   при отображении   обладает следующими двумя очевидными свойствами:

  • прообраз объединения равен объединению прообразов:  ;
  • прообраз пересечения равен пересечению прообразов:  .

Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

ПоведениеПравить

Возрастание и убываниеПравить

Пусть дана функция   Тогда

  • функция   называется неубывающей на  , если
 
  • функция   называется невозраста́ющей на  , если
 
  • функция   называется возраста́ющей на  , если
 
  • функция   называется убыва́ющей на  , если
 

Невозрастающие и неубывающие функции называются (нестрого) монотонными, а возрастающие и убывающие функции — строго монотонными. Для произвольной функции можно найти промежутки монотонности — подмножества области определения, на которых функция так или иначе (строгость выбирается в большинстве случаев договорно) монотонна.

ПериодичностьПравить

Функция   называется периодической с пери́одом  , если выполняется равенство

 .

Поскольку периодическая с периодом   функция также периодична с периодами вида  , то   вообще говоря, наименьший период функции.

Если это равенство не выполнено ни для какого  , то функция   называется апериоди́ческой.

ЧётностьПравить

  • Функция   называется нечётной, если справедливо равенство
 
График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
  • Функция   называется чётной, если справедливо равенство
 
График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Экстремумы функцииПравить

Пусть задана функция   и точка   — внутренняя точка области задания   Тогда

  •   называется точкой локального максимума, если существует окрестность   точки   такая, что
     
  •   называется точкой локального минимума, если существует окрестность   точки   такая, что
     

Функции в теории множествПравить

В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:

  1. абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
  2. множества, которые наделены некоторой структурой.

В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы — например, о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то эти множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств по их мощностям, причём наименьшие из них в порядке увеличения таковы:

Таким образом получаются следующие виды отображений — по мощности области определения:

  • конечные функции — отображения конечных множеств;
  • последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
  • континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

В случае 2 основным объектом рассмотрения является заданная на множестве структура (где элементы множества наделены каким-то дополнительными свойствами, которые связывают эти элементы, — например, в группах, кольцах, линейных пространствах) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, вообще говоря, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

Функции с каким-либо конкретным свойством могут не существовать на тех множествах, которые не обладают соответствующей структурой. Например, чтобы сформулировать такое свойство, как непрерывность функции, заданной на множестве, на этом множестве нужно задать топологическую структуру.

ОбобщенияПравить

Частично определённые функцииПравить

Частично определённой функцией   из множества   в множество   называется функция   с областью задания  .

Некоторые авторы могут под само́й ифункцией подразумевать лишь её сужение — такое, чтобы на «суженной» области определения функция была определена целиком. Это имеет свои преимущества: например, возможна запись  , где   — в этом случае имеется в виду  .

Многозначные функцииПравить

Заданному значению аргумента должно соответствовать ровно одно значение функции, что связано с самим определением функции. Но, несмотря на это, нередко можно встретить так называемые многозначные функции. В действительности это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть  , где   — семейство подмножеств множества  . Тогда   будет множеством для всякого  .

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции[5].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 13, 22, 25, 31. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
  2. 1 2 Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87
  3. Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 69. — 528 с.
  4. 1 2 В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 13, 22, 25, 31. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
  5. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.

ЛитератураПравить