Открыть главное меню

Обратное число

(перенаправлено с «Обратная величина»)

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x даёт единицу. Принятая запись: или . Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными. Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, отличается от значения функции, обратной косинусу — арккосинуса, который обозначается или .

Обратное к действительному числуПравить

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

Число Обратное
Дробь Степень
     

То есть  .

Примеры
Число                                                  
Обратное                                                    

Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это −3, а обратное 1/3.

Обратное к нулюПравить

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного переходаматематическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

  • Правый предел:   _ или _  
  • Левый предел:   _ или _  

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

  •  

Но  

Обратное к комплексному числуПравить

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа Число   Обратное  [1]
Алгебраическая    
Тригонометрическая    
Показательная    

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа Число   Обратное  [1]
Алгебраическая    
Тригонометрическая  

или
 [2]

 

или
 [2]

Показательная    

Обратное к мнимой единицеПравить

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это  .

Число Равенство обратного и противоположного
Запись обратного через дробь Запись обратного через степень
     
     

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Обратное   к комплексному числу   записывается в такой же форме, как и это число  .
  2. 1 2 Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента:  

См. такжеПравить