Открыть главное меню

Обратная матрица

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицыПравить

  •  , где   обозначает определитель.
  •   для двух квадратных обратимых матриц   и  .
  •  , где   обозначает транспонированную матрицу.
  •   для любого коэффициента  .
  •  .
  • Если необходимо решить систему линейных уравнений  , (b — ненулевой вектор) где   — искомый вектор, и если   существует, то  . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицыПравить

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методыПравить

Метод Жордана—ГауссаПравить

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц   (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

 .
 .

Вторая матрица после применения всех операций станет равна  , то есть будет искомой. Сложность алгоритма —  .

С помощью матрицы алгебраических дополненийПравить

Матрица, обратная матрице  , представима в виде

 

где   — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы).

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.

Использование LU/LUP-разложенияПравить

Матричное уравнение   для обратной матрицы   можно рассматривать как совокупность   систем вида  . Обозначим  -й столбец матрицы   через  ; тогда  ,  , поскольку  -м столбцом матрицы   является единичный вектор  . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение  . Пусть  ,  . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать:  . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида   и  . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для  , из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для  , из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно рекуррентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)−1 = A−1P−1 = B−1 = D получаем равенство  .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D, но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма — O(n³).

Итерационные методыПравить

Методы ШульцаПравить

 

Оценка погрешностиПравить

Выбор начального приближенияПравить

Проблема выбора начального приближения   в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору  , обеспечивающие выполнение условия   (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы   (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и  , то можно взять  , где  ; если же A — произвольная невырожденная матрица и  , то полагают  , где также  ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что  , положить  ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что   будет малой (возможно, даже окажется  ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

ПримерыПравить

Матрица 2 × 2Править

 [2]

Обращение матрицы 2 × 2 возможно только при условии, что  .

ПримечанияПравить

  1. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, — М.: Вильямс, 2006 (с. 700).
  2. Как найти обратную матрицу?. mathprofi.ru. Дата обращения 18 октября 2017.

СсылкиПравить