Обратная теорема

Обратная теорема или обратное утверждение к данной теореме — это утверждение, в котором условие исходной теоремы (прямого утверждения) поставлено заключением, а заключение — условием.[1]

Обратной к обратной теореме является исходная (прямая) теорема. Справедливость обоих взаимно обратных теорем означает, что выполнения условий любой из них необходимо и достаточно для справедливости заключения.[1]

Каждая теорема может быть выражена в форме импликации , в которой посылка является условием теоремы, а следствие является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде является обратной к ней[2].

Часто используется более общее определение обратной теоремы: если является прямой теоремой, то обратной называется не только теорема , но и теоремы , [3].

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то обратная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является , а заключением : , то для обратной теоремы существует пять форм:[4]

Вообще говоря, обратная теорема может не быть истинной, даже если прямая теорема верна. Так, теорема «вертикальные углы равны» (иначе: «если углы вертикальные, то они равны»), как известно, верна. Но обратное к ней утверждение «если углы равны, то они вертикальные», вообще говоря, неверно.

Даже если обратное утверждение истинно, то его доказательство может быть гораздо сложнее доказательства прямого. Например, теорема о четырёх вершинах была доказана в 1912 году, а её обратная только в 1998 году.

СвойстваПравить

  • Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной:  
  • Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой:  [5]

ПримерыПравить

Если в треугольнике со сторонами длиной  ,   и   угол, противолежащий стороне  , прямой, то  .

Обратная к этой теореме появляется в «Началах» Евклида (книга I, предложение 48), может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной  ,   и   выполняется  , то угол, противолежащий стороне  , прямой.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
  • Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
  • Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.