Обратный оператор

Обратный оператор к оператору  — оператор, который каждому из множества значений оператора ставит в соответствие единственный элемент из области определения оператора , являющийся решением уравнения . Если оператор имеет обратный, то есть уравнение имеет единственное решение при любом из , то называется обратимым. Обратный оператор обозначается [1].

Если A отображает X на Y, то A−1 отображает Y на X

Определение и условия существованияПравить

Другое определение: оператор   называется обратным к оператору  , если  , где   — единичный оператор. Если выполняется только соотношение   или только   то оператор   называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор   имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор   является обратимым[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом[3].

Оператор   обратим, если он отображает   на   взаимно однозначно, то есть при различных   принимает различные значения  .[4] Если оператор   — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы   выполнялось только при  [5].

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве   линейный оператор

 

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю:  [5].

СвойстваПравить

  •  [6]
  •  [3]
  • Оператор  , обратный к линейному оператору, также линеен.[1]
  •  ,   — сопряжённый оператор[7].

Теоремы об обратном оператореПравить

Теорема БанахаПравить

Пусть   — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство   на банахово пространство  . Тогда обратный оператор   ограничен.

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение   банахова пространства   на (всё) банахово пространство   открыто[9].

Достаточные условия существования обратного оператораПравить

 

где   — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор  [10].

  • Пусть   — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства   в банахово пространство   и   — линейный ограниченный оператор из   в   такой, что  . Тогда оператор   имеет ограниченный обратный, причём
 [11][12].
  • Пусть   — банахово пространство,   — тождественный оператор в  , а   — такой линейный ограниченный оператор, отображающий   в себя, что  . Тогда оператор   существует, ограничен и представляется в виде ряда
 [13].

ПримерыПравить

Преобразование ФурьеПравить

Основная статья: Преобразование Фурье
 

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства   в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

 [14].

Операторы интегрирования и дифференцированияПравить

Для оператора интегрирования

 

действующего в пространстве непрерывных функций  , обратным будет оператор дифференцирования:

 

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что  [15].

Оператор Штурма-ЛиувилляПравить

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля   определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что  , обратным оператором является интегральный оператор

 

где   — функция Грина.   — линейный ограниченный оператор в  [15].

Интегральный операторПравить

Пусть

 

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций  . При достаточно малых значениях параметра   оператор   (где   — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

 ,

где   — резольвента ядра  . Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

 

при любом свободном члене  [16].

Обратный оператор в конечномерном пространствеПравить

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица[17].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
  2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
  3. 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
  4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
  5. 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
  6. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
  7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
  8. Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз.
  9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
  10. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
  11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
  12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
  13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
  14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
  15. 1 2 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
  16. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
  17. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд.. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.

ЛитератураПравить