Открыть главное меню

Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).

Содержание

ОпределенияПравить

Пусть   — множество   на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой ( ), с нейтральным элементом  . Пусть   — пара произвольных элементов множества  . Если справедливо равенство   то   называется правым обратным (или обра́тным спра́ва) к  .

Аналогичным образом, если выполнено равенство   то   называется левым обратным (обра́тным сле́ва) к  

Элемент  , являющийся обратным к   и справа, и слева, то есть такой, что
     
называется просто обратным к   и обозначается  . Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

ЗамечанияПравить

  • Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация  , то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается  .
  • Вообще говоря, один и тот же элемент   может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

СвойстваПравить

Пусть операция   ассоциативна. Тогда если для элемента   определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

ПримерыПравить

Множество Бинарная операция Обратный элемент
Вещественные числа   (сложение)   (противоположное число)
Вещественные числа, не равные нулю   (умножение)   (обратное число)
Функции вида     (композиция функций)   (обратная функция)

См. такжеПравить