Обсуждение:Поле (алгебра)

Untitled

Вынесено из текста статьи:

Если кто-то хочет написать про поле из p^n элементов --- напишите как оно устроено, иначе это пример абсолютно бессмысленнен. Случай n=1 все равно нужно остваить. Jedal, 11.10.04

Во-первых, не загрязняйте такими поучениями тексты статей. Хотите оставить комментарий — пишите в обсуждении. Во-вторых, по существу комментария: я все-таки добавил пример конечного поля со ссылкой на статью конечное поле, где будет расположена основная информация о конечных полях. --Maxal 22:13, 11 Окт 2004 (UTC)

OK Jedal 19:14, 12 Окт 2004 (UTC)

Разница кольца и поля

Я запутался в этой системе. В кольце написано, что оно должно быть коммутативным и дистрибутивным, а в поле написано, что полем является кольцо с добавленными свойствами коммутативности и дистрибутивности. В чем тогда разница между кольцом и полем?

кольцо коммутативно по сложению, поле - по сложению и умножению. кроме того любой ненулевой элемент поля имеет обратный по умножению. Анатолий 09:35, 15 января 2008 (UTC)

Не стоит ли дописать статью?

Сравните английскую и русскую статьи. Почему убрали stub ?

На мой взгляд по-русски лучше. --Тоша 15:25, 8 ноября 2008 (UTC)

Уточнение определния

В определении указано, что ненулевые элементы обратимы, но не указано, что они обратимы по умножению. 91.149.109.112 17:12, 12 апреля 2009 (UTC) BlackCat

Достоверность

Утверждение "в поле нет делителей нуля" в моем понимании противоречит тому, что существуют поля с ненулевой характеристикой. Фомич 17:41, 1 сентября 2009 (UTC)

Не противоречит. Нет делителей нуля это означает, что произведение ненулевых a и b тоже не равно нулю, а это так, поскольку в поле любой ненулевой элемент обратим и 0 не равен 1. 85.140.24.234 17:53, 1 сентября 2009 (UTC)

Соотношение с термином «скалярное поле»

В данной статье поле — «множество F с двумя бинарными операциями...».

Есть ещё статья «скалярное поле», и там скалярное поле определяется так: «Если каждой точке M области многомерного пространства поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле».

С точки зрения человека, не очень хорошо разбирающегося в математике, речь как будто идёт об абсолютно разных вещах. Поле и скалярное поле — действительно совсем разные вещи, или между ними есть какая-то связь? Если есть, надо упомянуть об этом в статье. Если нет — надо написать что-то вроде: «не путайте с терминами „скалярное поле“, „векторное поле“, „тензорное поле“, относящимися к другому разделу математики (теории поля) и имеющими там абсолютно другое значение». sergey_feo 15:34, 14 апреля 2010 (UTC)

Определение понятия

У всякого математического понятия есть определения. Я пока что не видел ни одного определения, в котором были бы слова "наиболее близкая по поведению к...". 5.35.94.62 15:14, 3 января 2014 (UTC)

+1. Вообще, складывается впечатление, что статья требует кардинальной переработки. Даже определение запутано настолько, что так до конца и не смог в нём разобраться. Bums 06:46, 10 февраля 2014 (UTC)

По-моему, как раз тот редкий случай, когда дано и интуитивное, и точное дано сразу же в первом предложении: «алгебраическая структура, наиболее наиболее близкая по поведению к замкнутой относительно обратимых операций сложения и умножения системе чисел — коммутативное кольцо, являющееся телом». В первой части предложения — мотивация, зачем такую структуру рассматривать, а за тире — абсолютно формальное определение. Далее есть ещё и более подробное формальное определение. Настолько интуитивно и дважды формально во первы́х же строках, что даже трудно понять, что же тут может быть непонятно) Что предлагаете Вы, как построить первую фразу, как изменить структуру статьи? bezik 08:18, 10 февраля 2014 (UTC)

Извините, я не подвергал сомнению истинность определения (хотя глубоко внутри ропчется какое-то недовольство, которое не могу нащупать). Я имел в виду трудоёмкость для восприятия всего первого абзаца целиком и страшную переполненность его специальными понятиями. Я восхищён Вашим талантом интуитивного восприятия, но лично меня, грешного, действительно запутывает «поведение алгебраической структуры» и как его ранжировать по степени близости/дальности от чего-то ещё (если имеются в виду свойства, то, наверное, так и надо писать). Насколько уместно в самом начале статьи третье предложение, было бы интересно узнать у участника LGB, у которого я случайно повандальничал в «Гауссовых целых числах». В целом, признавая Ваш авторитет, согласен пока не начинать серьёзное перетрахивание определения, хотя, в принципе, мда. С уважением, Bums 10:04, 10 февраля 2014 (UTC)

Не уверен, что следует связывать «талантливость восприятия» с объяснением того, что означает «поведение наиболее близко», как раз Вы и начали с того, что боролись за интуитивность и мотивированность в определениях, а тут — казалось бы, самое что ни на есть интуитивное и неформально-сутевое почему-то коробит. Какими тогда ещё словами сказать, что это такая структура, которая алгебраически наиближайшим образом описывает поведение систем чисел, замкнутых относительно сложения, умножения, вычитания и деления? Тем не менее, даже если преамбула просто субъективно не нравится — это тоже хороший повод усомниться в её качестве, но сказать «плохо» и не предложить, куда от этого «плохо» бежать не особо нас продвинет в создании универсальной энциклопедии. Хорошая идея — пригласить многоопытного в этих вопросах коллегу LGB (он увидит уведомление по факту данной ссылки, и, будем надеяться, сможет дать мудрый совет на этот счёт), bezik 11:07, 10 февраля 2014 (UTC)

Как любят говорить в плохих пьесах, «А вот и он сам!» Содержание и стиль статьи действительно пока что оставляют желать много лучшего — в ней нет «См. также», исторические сведения и формальное определение даны зачем-то в преамбуле, вскользь упомянуто ключевое понятие расширения поля, сведения, доступные школьнику, перемешаны с более трудными для восприятия, примеры не прокомментированы и т. п. Вариант английского раздела тоже не идеал, но сделан более продуманно. Предлагаю на обсуждение мой вариант преамбулы.

По́ле в общей алгебре — алгебраическая структура, для элементов которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических. Поле — основной предмет изучения теории полей.

Прочее из существующей преамбулы более разумно вынести в разделы «Формальное определение» и «История». LGB 11:46, 10 февраля 2014 (UTC)

• Да будет так, и спасибо за совет! (Оставил кусок с навигацией на примеры, не считаю, правда, его наличие критичным и не возражаю против усечения последнего предложения преамбулы.) Единственное, с чем готов дискутировать — это с необходимостью раздела «См. также» (по аргументам, изложенным на странице Проект:См. также, ну, разве что, кроме тех редких случаев, когда в тексте статьи ссылка на какое-то понятие неуместна, но навигация всё же оправдана), bezik 12:18, 10 февраля 2014 (UTC)

А чем Вам не угодил раздел «См. также»? В моём понимании, он должен ориентировать читателя, где найти расширенную информации по теме статьи. Злоупотреблять им не следует, но при разумном использовании раздел может быть полезен, особенно при отсутствии в статье других средств навигации или в случае их неполноты. LGB 12:52, 10 февраля 2014 (UTC)

Этот раздел хорош, когда этих ссылок, раскрывающих тему статьи, нет в самой статье, либо по какой-то причине они нецелесообразны или сильно упрятаны (не попадают в преамбулу, не отражены в виде навигации в заголовках и концовках секций шаблонами {[tl|main}} и {{see also}}). На какой-то список или глоссарий по основной теме статьи, как-правило, удобнее всего сослаться из такого раздела, но в большинстве случаев он разложи́м на прочее содержимое статьи, навигационные шаблоны, категории. Обычно такие разделы возникают, когда статья сильно неполна или невикифицирована (впрочем, не будут повторяться с доводами и примерами, изложенными на странице указанного выше проекта), bezik 13:11, 10 февраля 2014 (UTC)

Долго искал обещанные доводы и примеры на странице Проект:См. также, пока не догадался посмотреть лист обсуждения . Всё же перечень оснований для создания проекта лучше вынести на парадную страницу. Мне в общем всё равно, как будет реализована возможность для читателя получить расширенную информации по теме статьи, но важно, чтобы она имелась и в пылу борьбы с разделами «См. также» не была утеряна. Приведенные на СО проекта критерии мне кажутся недостаточно чёткими, так что нет гарантии, что после предложенных переделок все статьи станут лучше, а не хуже. Впрочем, участвовать в этой дискуссии у меня желания нет, разве что подобная деятельность приведёт к порче статей, чего, надеюсь, не произойдёт. LGB 15:20, 10 февраля 2014 (UTC)

Off topic. Уважаемый LGB, Ваша поддержка и благодушие к новичкам, даже если их действия носят, в основном, наивно-деструктивный характер, настолько благородны, что я не умею выразить свою благодарность и не могу представить лучшей мотивации для продолжения саморазвития и попыток реализации ПДН. Вы не даёте мастер-классы по написанию статей? Bezik, спасибо за пример грамотной аргументации, против которой мне нечего возразить. С уважением, Bums 14:50, 10 февраля 2014 (UTC)

Спасибо, конечно, хотя, перефразируя Бернарда Шоу, должен признаться, что Ваши эмоциональные оценки несоизмеримы не только с моими достоинствами, но даже и с моими недостатками . Если говорить серьёзно, то для меня Википедия — попытка смоделировать социальную среду человечества XXII века. Ведь правила Википедии как раз направлены на обеспечение совместной жизни и работы людей с противоположными взглядами, их мирные дискуссии, поиск компромиссов и т. д., совпадение почти полное. Успех Википедии означал бы, что эта цель достижима и в более широких масштабах. Если желаете продолжить оффтопик, лучше перейдём на мою СО. LGB 15:20, 10 февраля 2014 (UTC)

к определению "Характеристика поля"

Вообще-то 1+...+1 не всегда равно 1*n.

Пример: возьмём поле Галуа GF(256) или GF(16), такого типа, какой применяется для вычисления кода Рида-Соломона. в этом поле операция сложения определена как «исключающее или» над двоичной записью элементов,

таким образом 1+1 = 0

Поленюсь выписывать определение умножения (посмотрите в википедии), но скажу что в этом поле есть и 1 и 2, и 1-вполне себе единичный элемент,

таким образом 1*2 = 2.

31.28.8.125 11:24, 8 декабря 2020 (UTC) (подробнее)

Возможно, путаница в определениях.

Сперва дается определение в духе абстрактной алгебры (группа по сложению, группа по умножению, дистрибутивность, и т.д.), а чуть ниже внезапно:

Характеристика поля — ... наименьшее положительное целое число n такое, что ...

Почему вдруг число? Что значит "положительное" в контексте определения? Мы пока что ни слова не сказали о том, определен ли порядок, как он связан со сложением и умножением и т.д. Я думаю, это надо поправить, но хотел бы, чтобы это сделал кто-нибудь, кто лучше знает контекст.

StepanAnokhin (обс.) 16:28, 10 декабря 2020 (UTC)

Вы, наверное, подразумевали, что упомянутое в определении число $n$ принадлежит полю. Ничего подобного, это обычное натуральное число, постороннее для поля, так что для него никаких трудностей с упорядоченностью не возникает. Оно нужно только для отсчёта числа слагаемых-единиц:

$\underbrace {1+\dots +1} _{n}=0.$

Для любого поля и любого натурального $n$ подобные суммы определены и кратко записываются как $n\cdot 1.$ Leonid G. Bunich / обс. 17:07, 10 декабря 2020 (UTC)

Да, совершенно верно, смутила запись $n1$. Наверное всё же стоит это объяснить, но это далеко не такой тяжкий грех, как я думал - внезапный переход к очень частному случаю без каких-либо пояснений и необходимых определений. Спасибо! StepanAnokhin (обс.) 18:57, 10 декабря 2020 (UTC)