Объём Малера

Объём Малера — характеристика Центрально-симметричного выпуклого тела. Названа в честь Курта Малера.

Нерешённая гипотеза Малера утверждает, что минимальный возможный объём Малера имеет куб.

Определение

Выпуклое тело в Евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью.

Если $B$ есть центрально-симметричное выпуклое тело в n-мерном евклидовом пространстве, то двойственное тело $B^{*}$ другое центрально-симметричного тело в том же пространстве, определяемая как

$B^{*}=\left\{x\mid x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}y\in B\right\}.$

Объём Малера $B$ является произведением объёмов $B$ и $B^{*}$.

Примеры

• Единичный шар является самодвойственным. Поэтому объём Малера единичного шара есть квадрат его объёма.

  ${\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}.$

где Γ обозначает гамма-функцию.

• Такой же объём Малера имеет любой эллипсоид

• Двойственное тело для куба есть октаэдр. Отсюда несложно вычислить что объём Малера куба (также как и октаэдра) есть ${\tfrac {4^{n}}{n!}}$.
  • Согласно формуле Стирлинга, объём Малера шара превышает объем Малера куба примерно в $\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{n}$ раз.

Свойства

• Объём Малера являющееся безразмерной величиной инвариантой относительно линейных преобразований.
• По неравенству Бляшке — Сантало, шар имеет максимальный объёмом Малера.

Ссылки

• Bourgain, J.; Milman, V. D. (1987), "New volume ratio properties for convex symmetric bodies in Rⁿ", Inventiones Mathematicae, 88 (2): 319—340, doi:10.1007/BF01388911, MR 0880954.

• Santaló, L. A. (1949), "An affine invariant for convex bodies of n-dimensional space", Portugaliae Math. (In Spanish), 8: 155—161, MR 0039293 {{citation}}: |format= требует |url= (справка).

• Tao, Terence (March 8, 2007), Open question: the Mahler conjecture on convex bodies Архивная копия от 16 февраля 2019 на Wayback Machine. Revised and reprinted in Tao, Terence (2009), "3.8 Mahler's conjecture for convex bodies", Structure and Randomness: Pages from Year One of a Mathematical Blog, American Mathematical Society, pp. 216—219, ISBN 978-0-8218-4695-7.