Открыть главное меню

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Содержание

Ограниченное числовое множествоПравить

Множество вещественных чисел   называется ограниченным сверху, если существует число  , такое что все элементы   не превосходят  :

 

Множество вещественных чисел   называется ограниченным снизу, если существует число  , такое что все элементы   не меньше  :  

Множество  , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество  , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок  ,

неограниченного — множество всех целых чисел  ,
ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч  ,
ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч  .

Вариации и обобщенияПравить

Ограниченное множество в метрическом пространствеПравить

Пусть   — метрическое пространство. Множество   называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре

 

для некоторого центра   и некоторого радиуса  .

ЗамечанияПравить

  • Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.
  • В отличие от числовой прямой, в произвольном метрическом пространстве нельзя ввести понятия ограниченного сверху и ограниченного снизу множеств.
  • Помимо понятия ограниченного множества для произвольного метрического пространства существует более специальное понятие вполне ограниченного множества. В случае числовых множеств это понятие совпадает с понятием ограниченного множества.

Ограниченность в частично упорядоченном множествеПравить

Понятия ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества можно ввести в произвольном частично упорядоченном множестве. Эти определения буквально повторяют соответствующие определения для числовых множеств.

Пусть   — частично упорядоченное множество,  . Множество   называется ограниченным сверху, если

 

ограниченным снизу, если

 

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

См. такжеПравить