Однородное пространство

Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.

Тор. Стандартный тор является однородным по группам его диффеоморфизмов и гомеоморфизмов, а плоский тор однороден по его группам диффеоморфизмов, гомеоморфизмов и изометрий.

ОпределениеПравить

Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.

  • Элементы X называются точками однородного пространства.
  • Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений или основной группой однородного пространства.
  • Подгруппа  , фиксирующая элемент  , называется стабилизатором  .
  • Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.

СвойстваПравить

  • Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами.
  • Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.

ПримерыПравить

Метрические пространства
  • Евклидово пространство   с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа   ортогональных преобразований.
  • Стандартная сфера   со следующими действиями:
    • Группы   ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе  .
    • Группы   — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе  .
  • Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
  • Грассманиан:  .
Другие

Вариации и обобщенияПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить