Односторонний предел

(перенаправлено с «Односторонние пределы»)

Односторо́нний преде́л в математическом анализепредел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

ОпределенияПравить

Пусть на некотором числовом множестве   задана числовая функция   и число  предельная точка области определения  . Существуют различные определения для односторонних пределов функции   в точке  , но все они эквивалентны.

Односторонний предел по ГейнеПравить

  • Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, больших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .
     
  • Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, меньших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .[1]
     

Односторонний предел по КошиПравить

  • Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .
     
  • Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число  , такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .[1]
     

Односторонний предел как предел вдоль фильтраПравить

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть   и   Тогда системы множеств

 

и

 

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

 
 

ОбозначенияПравить

  • Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
     
  • Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
     
  • При этом используются также сокращённые обозначения:
    •   и   для правого предела;
    •   и   для левого предела.
  • При   для сокращения записи вместо   и   обычно пишут   и   соответственно.

СвойстваПравить

  • Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
  • Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.[1]

ПримерыПравить

 
Функция из второго примера
  • Тождественная числовая функция
    •  
    • Область определения:  
    • Правый предел:  
    • Левый предел:  
    • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел:  
  • Кусочно-заданная функция
    •  
    • Область определения:  
    • Правый предел:  
    • Левый предел:  
    • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке   не существует
  • Функция sgn(x)
    •  
    • Область определения:  
    • Правый предел:  
    • Левый предел:  
    • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке   не существует

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.