Открыть главное меню

Одноэлектронное приближение

Одноэлектронное приближение — приближенный метод нахождения волновых функций и энергетических состояний квантовой системы со многими электронами.

В основе одноэлектронного приближения лежит предположение, что квантовую систему можно описать как систему отдельных электронов, движущихся в усреднённом потенциальном поле, которое учитывает взаимодействие как с ядрами атомов, так и с другими электронами. Волновая функция многоэлектронной системы в одноэлектронном приближении выбирается в виде детерминанта Слейтера определённого набора функций, зависящих от координат одной частицы. Эти функции являются собственными функциями одноэлектронного гамильтониана с усредненным потенциалом.

В идеале потенциал, в котором движутся электроны должен быть самосогласованным. Чтобы достичь этой цели, используют итерационную процедуру, например, метод Хартри — Фока или его релятивистское обобщение — приближение Хартри — Фока — Дирака. Однако часто систему описывают модельным потенциалом.

Числа заполненияПравить

Одноэлектронный гамильтониан в общем случае имеет вид

 ,

где   — усреднённый потенциал. Спектр волновых функций гамильтониана определяется решениями уравнения

 ,

где i — индекс для нумерации этих функций. Для построения волновой функции многоэлектронной системы с N электронами можно выбрать N любых функций или N суперпозиций этих функций, однако учитывая принцип запрета Паули все они должны быть разными.

Основному состоянию квантовой системы соответствует набор из N функций, для которых одноэлектронных энергии   минимальна. Полная энергия основного состояния системы определяется суммой одноэлектронных энергий

 

Волновая функция многоэлектронной системы конструируется из волновых функций   с учетом требования антисиметричности по перестановок. В основном это делается с использованием детерминанта Слетера. Используя операторы рождения эту волновую функцию можно представить в виде

 

Волновую функцию возбужденного состояния можно построить, выбрав вместо одной из собственных функций одноэлектронного гамильтониана с наименьшей энергией любую другую функцию.

В общем, если выбрать произвольный набор одноэлектронных волновых функций, то волновую функцию многоэлектронной системы можно характеризовать набором индексов одноэлектронных функций:  , или же считать, что некоторые из одноэлектронных состояний заполнены, а некоторые нет. Присваивая заполненным состояниям число 1, а незаполненным — 0, можно построить бесконечную цепочку единиц и нулей, характеризующий состояние многоэлектронных системы. Такая цепочка называется представлением чисел заполнения.

В статистической физике волновая функция многоэлектронной системы не может быть определена точно. Состояние системы смешанное и описывается матрицей плотности, которая удовлетворяет распределению Ферми-Дирака.

ЗначенияПравить

Метод одноэлектронного приближения широко используется в квантовой химии и теории твёрдого тела. В частности, на нём основывается зонная теория.