Оконное преобразование Фурье

Оконное преобразование Фурье — это разновидность преобразования Фурье, определяемая следующим образом:

где  — некоторая оконная функция. В случае дискретного преобразования оконная функция используется аналогично:

Существует множество математических формул, визуально улучшающих частотный спектр на разрыве границ окна. Для этого применяются преобразования: треугольное (Барлетта), синус-окно, синус в кубе, синус в 4-й степени, преобразование Парзена, Уэлча, Гаусса, Хеннинга, приподнятый косинус (Хэмминга), Чебышева, с пульсациями, Розенфилда, Блэкмана-Харриса, горизонтальное и с плоской вершиной. Также существует методика по взаимному перекрытию окон, при этом обычно можно выбрать сколько семплов из предыдущего окна будет усреднено с текущим окном.

ПрименениеПравить

На практике нет возможности получить сигнал на бесконечном интервале, так как нет возможности узнать, какой был сигнал до включения устройства и какой он будет в будущем. Ограничение интервала анализа равносильно произведению исходного сигнала на прямоугольную оконную функцию. Таким образом, результатом оконного преобразования Фурье является не спектр исходного сигнала, а спектр произведения сигнала и оконной функции. В результате возникает эффект, называемый растеканием спектра сигнала. Опасность заключается в том, что боковые лепестки сигнала более высокой амплитуды могут маскировать присутствие других сигналов меньшей амплитуды.

Для борьбы с растеканием спектра применяют более гладкую оконную функцию, спектр которой имеет более широкий главный лепесток и низкий уровень боковых лепестков. Спектр, полученный при помощи оконного преобразования Фурье, является сверткой спектра исходного идеального сигнала и спектра оконной функции.

Искажения, вносимые применением окон, определяются размером окна и его формой. Выделяют следующие основные свойства оконных функций: ширина главного лепестка по уровню -3 дБ, ширина главного лепестка по нулевому уровню, максимальный уровень боковых лепестков, коэффициент ослабления оконной функции.

Оконное преобразование Фурье применяется в связи для синтеза частотных фильтров, например, в методе частотного мультиплексирования с множеством несущих, использующим банк (гребёнку) частотных фильтров FBMC[1].

Частотно-временное разрешениеПравить

При использовании оконного преобразования Фурье невозможно одновременно обеспечить хорошее разрешение по времени и по частоте. Чем уже окно, тем выше разрешение по времени и ниже разрешение по частоте.

 
Сравнение оконного преобразования Фурье с разными окнами. Слева (узкое окно) - хорошее разрешение по времени, справа (более широкое окно) - хорошее разрешение по частоте.

Разрешение по осям является постоянным. Это нежелательно для ряда задач, в которых информация по частотам распределена неравномерно. В таких задачах в качестве альтернативы оконному преобразованию Фурье может использоваться вейвлет-преобразование, временное разрешение которого увеличивается с частотой (частотное снижается).

Типы оконных функцийПравить

Основная статья: Окно (весовая функция)

Прямоугольное окноПравить

 
Прямоугольное окно; B=1.00
 

Получается автоматически при ограничении выборки N отсчетами. Максимальный уровень боковых лепестков частотной характеристики: -13 дБ.

Окно Ханна (Хеннинга)Править

 
Окно Ханна; B = 1.50
 

где N — ширина окна. Уровень боковых лепестков: -31.5 дБ.

Окно ХэммингаПравить

 
Окно Хэмминга
 

Уровень боковых лепестков: -42 дБ.

Окно БлэкманаПравить

 
Окно Блэкмана; α = 0.16; B=1.73
 
 

Уровень боковых лепестков: -58 дБ (α=0.16).

Окно КайзераПравить

 
Окно Кайзера, α =2; B=1.5
 
Окно Кайзера, α =3; B=1.8
 

где   — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка;   — коэффициент определяющий долю энергии, сосредоточенной в главном лепестке спектра оконной функции. Чем больше   тем больше доля энергии, и шире главный лепесток, и меньше уровень боковых лепестков. На практике используются значения от 4 до 9.

РеализацияПравить

Для оконного преобразования Фурье в цифровом виде может применяться не только взвешивание каждого цифрового отсчета в процессе формирования свертки, но и эквивалентное весовое суммирование откликов преобразования Фурье[1].

К примеру взвешивание окном Ханна (Хеннинга) и окном Хэмминга может быть представлено в виде:

 ,

где  ,  ,   - исходные отклики преобразования Фурье,   - результат оконного преобразования,   соответствует окну Ханна (Хеннинга),   - окну Хэмминга[1][2].

Реализация указанного взвешивания осуществляется в режиме скользящего окна по массиву откликов преобразования Фурье.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Слюсар В.И. Современные тренды радиорелейной связи. //Технологии и средства связи. – 2014. - № 4. - С. 32 - 36. [1]
  2. Слюсар В. И., Королев Н. А. Ващенко П. А. Метод повышения частотной избирательности систем сотовой связи, использующих цифровое диаграммообразование. // Тезисы докладов ХІV НТК. Часть 1. - Житомир: ЖВИРЭ. - 2004. - С. 77. [2]

Внешние ссылкиПравить