Окрестность

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

На плоскости подмножество является окрестностью точки , если вокруг точки можно нарисовать небольшой диск, который будет целиком содержаться в .
Прямоугольник не может являться окрестностью своих вершин.

ОпределенияПравить

Математический анализПравить

Пусть   произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки   на числовой прямой (иногда говорят  -окрестностью) называется множество точек, удаленных от   менее чем на  , то есть  .

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый  -шар с центром в точке  .

В банаховом пространстве   окрестностью с центром в точке   называют множество  .

В метрическом пространстве   окрестностью с центром в точке   называют множество  .

Общая топологияПравить

Пусть задано топологическое пространство  , где   — произвольное множество, а   — определённая на   топология.

  • Множество   называется окрестностью точки  , если существует открытое множество   такое, что  .
  • Аналогично окрестностью множества   называется такое множество  , что существует открытое множество  , для которого выполнено  .

СвойстваПравить

Совокупность   всех окрестностей точки   в топологическом пространстве обладает следующими свойствами (здесь   — множества в топологическом пространстве,   — точка в топологическом пространстве):[1]

  1.      .
  2. если   и  , то  .
  3. пересечение конечного числа окрестностей из   принадлежит  .
  4.         такое, что   и   для всех  .

Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами:

  1.      .
  2. если  ,  , то    .
  3. если   и  , то    ,  .

ЗамечанияПравить

  • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность   была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество  . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[2] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
  • Окрестностью множества точек   называется такое множество  , что   есть окрестность любой точки  .
  • Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой интервал, содержащий эту точку.[1][3], а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют произвольное открытое множество евклидова пространства, содержащее эту точку.[4]

ПримерПравить

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда   является открытой окрестностью, а   — замкнутой окрестностью точки  .

Вариации и обобщенияПравить

Проколотая окрестностьПравить

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество   называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки  , если

 

где   — окрестность  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Окрестность // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 430
  2. Рудин, 1975, с. 13.
  3. Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М., Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — с. 33
  4. Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы. - М., МПИ, 1988. - с. 278

ЛитератураПравить