Окружность Аполлония

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

ПостроениеПравить

Пусть на плоскости даны две точки   и  . Рассмотрим все точки   этой плоскости, для каждой из которых отношение

 

есть фиксированное положительное число. При   эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку  ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

ЗамечаниеПравить

СвойстваПравить

  • Радиус окружности Аполлония равен  
  • Отрезок   между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой   является биссектрисой самого угла   или угла, смежного с ним.
  • Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки   и   местами.
  • Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствахПравить

  • Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.[1]
  • Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.[2]
  • Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.

ПриложенияПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить