Операторная норма

Операторная норма — норма определённая на ограниченных линейных операторах из одного нормированного пространства в другое. Также называется операторной, подчинённой или индуцированной нормой.

Операторная норма превращает само линейное пространство операторов в нормированное пространство. Соответственная структура линейного топологического пространства операторов называется топологией нормы, или операторной топологией (без уточнения).

Определение и обозначения править

В дальнейшем через K будет обозначено основное поле, являющееся нормированным полем. Обычно K =   или K =  .

Пусть V1 и V2 — два нормированных линейных пространства над K и T — линейный оператор из V1 в V2. Если существует такое неотрицательное число[1] M, что

 

то оператор T называется ограниченным, а наименьшее такое возможное M — его нормой T. Если V1 конечномерно, то всякий оператор ограничен.

Норма оператора T может быть вычислена по формуле[2]:

 

Если пространство V1 состоит из одного нуля, то приведённая формула не работает, но T‖ = 0 поскольку T = 0.

Линейное пространство ограниченных операторов из V1 в V2 обозначается  . В случае когда   пишут   вместо  . Если   — гильбертово пространство, то иногда пишут   вместо  .

Свойства править

Ограниченность и непрерывность править

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда[источник не указан 3620 дней] и только тогда, когда он непрерывен.

Норма править

На   можно ввести структуру векторного пространства с операциями   и  , где  ,  , а   — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, то есть удовлетворяет соответственным аксиомам:

  •   (по определению)
  •   тогда и только тогда, когда   (следует из определения нормированного пространства)
  •   для всех   из  
  •   для всех ограниченных операторов   и   из V1 в V2.

Субмультипликативность править

Если S — оператор из V2 в V3, а T — оператор из V1 в V2, то их произведение S T определяется как композиция функций S ∘ T. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:

 .

В случае V1 = V2 = V, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства  , и потому операторная норма превращает операторную алгебру   в нормированную алгебру.

Полнота править

Пространство   является банаховым тогда и только тогда, когда V1 нульмерно[3] или V2 банахово.

Если V — банахово пространство, то   с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.

Примеры использования править

Между конечномерными пространствами править

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.

На гильбертовых пространствах править

Алгебра ограниченных операторов   (на гильбертовом пространстве H) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.

Сравнения править

Операторной нормы с другими нормами править

На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

Топологии нормы с другими править

В конечномерном случае (когда оба пространства V1 и V2 конечномерны),   тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства V1 и V2 бесконечномерны, на   возможны более слабые (грубые) топологии:

Литература править

  • Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336с. ISBN 5-88688-016-X
  • Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Примечания править

  1. В общем случае — элемент упорядоченного поля, в котором принимает значения нормирование на K.
  2. Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 210.
  3. В таком случае  , а оно полно.