Операторная норма

Операторная норма — норма определённая на ограниченных линейных операторах из одного нормированного пространства в другое. Также называется операторной, подчинённой или индуцированной нормой.

Операторная норма превращает само линейное пространство операторов в нормированное пространство. Соответственная структура линейного топологического пространства операторов называется топологией нормы, или операторной топологией (без уточнения).

Определение и обозначенияПравить

В дальнейшем через K будет обозначено основное поле, являющееся нормированным полем. Обычно K = $\mathbb {R}$ или K = $\mathbb {C}$ .

Пусть V₁ и V₂ — два нормированных линейных пространства над K и T — линейный оператор из V₁ в V₂. Если существует такое неотрицательное число^[1] M, что

\forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,

то оператор T называется ограниченным, а наименьшее такое возможное M — его нормой ‖T‖. Если V₁ конечномерно, то всякий оператор ограничен.

Норма оператора T может быть вычислена по формуле^[2]:

{\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

Если пространство V₁ состоит из одного нуля, то приведённая формула не работает, но ‖T‖ = 0 поскольку T = 0.

Линейное пространство ограниченных операторов из V₁ в V₂ обозначается $L(V_{1},V_{2})$ . В случае когда $V_{1}=V_{2}=V$ пишут $L(V)$ вместо $L(V,V)$ . Если $H$ — гильбертово пространство, то иногда пишут $B(H)$ вместо $L(H)$ .

СвойстваПравить

Ограниченность и непрерывностьПравить

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда^{[источник не указан 3265 дней]} и только тогда, когда он непрерывен.

НормаПравить

На $L(V_{1},V_{2})$ можно ввести структуру векторного пространства с операциями $(T+S)x=Tx+Sx$ и $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ , где $T,S\in L(V_{1},V_{2})$ , $x\in V_{1}$ , а $\alpha \in K$ — произвольный скаляр. Операторная норма делает линейное пространство ограниченных операторов нормированным пространством, то есть удовлетворяет соответственным аксиомам:

$\|T\|\geqslant 0$ (по определению)
$\|T\|=0$ тогда и только тогда, когда $T=0$ (следует из определения нормированного пространства)
$\|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|$ для всех $\alpha$ из $K$
$\|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|$ для всех ограниченных операторов $S$ и $T$ из V₁ в V₂.

СубмультипликативностьПравить

Если S — оператор из V₂ в V₃, а T — оператор из V₁ в V₂, то их произведение S T определяется как композиция функций S ∘ T. Операторная норма удовлетворяют свойству субмультипликативности:

\|ST\|\leq \|S\|\|T\|

.

В случае V₁ = V₂ = V, ограниченные операторы можно перемножать не выходя из пространства $L(V)$ , и потому операторная норма превращает операторную алгебру $L(V)$ в нормированную алгебру.

ПолнотаПравить

Пространство $L(V_{1},V_{2})$ является банаховым тогда и только тогда, когда V₁ нульмерно^[3] или V₂ банахово.

Если V — банахово пространство, то $L(V)$ с введённым выше умножением является банаховой алгеброй.

Примеры использованияПравить

Между конечномерными пространствамиПравить

Операторные нормы (для различных норм на векторах) составляют важный класс возможных норм на пространствах матриц.

На гильбертовых пространствахПравить

Алгебра ограниченных операторов $L(H)$ (на гильбертовом пространстве H) с операторной нормой является C*-алгеброй с операцией инволюции, задаваемой эрмитовым сопряжением. При этом, алгебра компактных операторов является её замкнутой *-подалгеброй и даже идеалом.

СравненияПравить

Операторной нормы с другими нормамиПравить

На операторах на гильбертовом пространстве определены и другие, более сильные, нормы, например норма Гильберта — Шмидта. В бесконечномерном случае, такие нормы не определены (бесконечны) на некоторых ограниченных операторах.

Топологии нормы с другимиПравить

В конечномерном случае (когда оба пространства V₁ и V₂ конечномерны), $L(V_{1},V_{2})$ тоже конечномерно и все топологии (и нормы) на таком линейном пространстве эквивалентны. Однако, когда оба пространства V₁ и V₂ бесконечномерны, на $L(V_{1},V_{2})$ возможны более слабые (грубые) топологии:

Сильная операторная топология; название вводит в заблуждение, так как она слабее (грубее) топологии нормы.
Слабая операторная топология; ещё слабее (грубее).

ЛитератураПравить

Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336с. ISBN 5-88688-016-X
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

ПримечанияПравить

↑ В общем случае — элемент упорядоченного поля, в котором принимает значения нормирование на K.
↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 210.
↑ В таком случае $L(V_{1},V_{2})=\{0\}$ , а оно полно.

[1] В общем случае — элемент упорядоченного поля, в котором принимает значения нормирование на K.

[_9f57c9888f8295bf-2] Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 210.

[3] В таком случае $L(V_{1},V_{2})=\{0\}$ , а оно полно.

[1]

[2]

[3]