Оператор Гильберта — Шмидта

Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор на гильбертовом пространстве с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис в , что

Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.

Скалярное произведение Гильберта — ШмидтаПравить

Пусть   и   — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как

 

где   обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:

 

Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.

СвойстваПравить

Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на  . Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на  , множество тогда и только тогда, когда   конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

 

где   — пространство, сопряжённое к  .