Открыть главное меню

Оператор Шрёдингера — дифференциальный оператор вида:

.

Представляет собой оператор эллиптической сингулярной краевой задачи. Математическая теория операторов Шрёдингера используется в квантовой механике[1], дифференциальной геометрии (доказательство теоремы Гаусса — Бонне[2]), топологиитеории Морса при доказательстве неравенства Морса[3]). Допускает многочисленные обобщения[4]. При некоторых условиях на потенциалы и является самосопряжённым оператором со всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций [5][6]. Это свойство равносильно однозначной разрешимости нестационарного уравнения Шрёдингера[6]. Оно очень важно для оснований квантовой механики, поскольку лишь самосопряжённые операторы описывают квантовомеханические наблюдаемые. В квантовой механике оператор Шрёдингера представляет собой оператор энергии системы заряженных частиц в координатном представлении. При приближённом описании поведения частицы во внешнем поле или системы двух взаимодействующих частиц оператор Шредингера определён в пространстве квадратично интегрируемых функций и имеет вид: , где  — вектор трёхмерного пространства[1].

Содержание

Одномерный оператор ШрёдингераПравить

Одномерный оператор Шрёдингера имеет вид:

 ,

где   — вектор одномерного пространства. В случае бесконечно растущего потенциала   при   его спектр является дискретным, однократным. В случае гармонического осциллятора —  . Собственные значения   и собственные функции  , где  ,   — полиномы Эрмита.

Достаточный признак самосопряжённости оператора ШрёдингераПравить

Для оператора Шрёдингера для системы   частиц, определённого на гладких финитных функциях:

 ,

достаточными условиями существенной самосопряжённости являются условия:

 ,
 ,

и при   условия:

 ,
 .

Область определения замыкания оператора Шрёдингера в этом случае совпадает с областью определения замыкания оператора  [5].

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Крейн, 1972, с. 430.
  2. Цикон, 1990, с. 291.
  3. Цикон, 1990, с. 265.
  4. Крейн, 1972, с. 435.
  5. 1 2 Крейн, 1972, с. 441.
  6. 1 2 Цикон, 1990, с. 9.

ЛитератураПравить

  • Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
  • Цикон Х., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. — М.: Мир, 1990. — 408 с. — ISBN 5-03-001422-5.