Открыть главное меню

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)[1].

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   определена на отрезке  . Разобьём   на части несколькими произвольными точками:  .

Тогда говорят, что произведено разбиение   отрезка   Далее выберем произвольную точку  ,  .

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга

разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , то есть

 

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

ОбозначенияПравить

 

  •   — нижний предел.
  •   — верхний предел.
  •   — подынтегральная функция.
  •   — длина частичного отрезка.
  •   — интегральная сумма от функции   на   соответствующей разбиению  .
  •   — максимальная из длин частичных отрезков.

СвойстваПравить

Если функция   интегрируема по Риману на  , то она ограничена на нем.

Геометрический смыслПравить

 
Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл   численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми   и   и графиком функции  .

Примеры вычисленийПравить

Далее приведены примеры взятий определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

  1.  
  2.  
  3.  

ПримечанияПравить

  1. Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

ЛитератураПравить