Определённый интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨].[1] В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)[2].

Что такое определённый интеграл, анимация

ОпределениеПравить

Пусть функция   определена на отрезке  . Разобьём   на части несколькими произвольными точками:  . Тогда говорят, что произведено разбиение   отрезка   Далее, для каждого   от   до   выберем произвольную точку  .

Определённым интегралом от функции   на отрезке   называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , то есть

 

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

ОбозначенияПравить

  •   — нижний предел.
  •   — верхний предел.
  •   — подынтегральная функция.
  •   — длина частичного отрезка.
  •   — ранг разбиения, максимальная из длин частичных отрезков.

Геометрический смыслПравить

 
Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл от неотрицательной функции   численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми   и   и графиком функции  .[1]

СвойстваПравить

  • Если   и   — интегрируемы на отрезке   функции, то их линейная комбинация   также является интегрируемой на   функцией, причём  
  • Если   — интегрируемая на отрезке   функция, то справедливо  
  • Если   — интегрируемая в окрестности точки   функция, то справедливо  [3]
  • Если функция   интегрируема по Риману на  , то она ограничена на нем.

Примеры вычисленийПравить

Далее приведены примеры расчёта определённых интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

  1.  
  2.  
  3.  

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Определённый интеграл // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
  3. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. Изд. 10-е, испр.. — М.: МЦНМО, 2019. — С. 321-323. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4. Архивная копия от 16 мая 2021 на Wayback Machine