Открыть главное меню

Ориента́ция, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.

В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».

Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре[en] и т. д.). Современный взгляд на ориентацию даётся в рамках обобщённых теорий когомологий.

Содержание

Конечномерное векторное пространствоПравить

В случае векторного пространства конечной размерности над полем вещественных чисел две системы координат считаются связанными положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой.

ЗамечанияПравить

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве   комплексный базис   определяет вещественный базис   в том же пространстве, рассматриваемом как  , и все такие базисы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в  ).

Вариации и обобщенияПравить

Аффинное пространствоПравить

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве   системы координат состоят из точки (начала  ) и репера  , переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра   семейство координатных систем  ,  , связывающее данные системы  ,   и  ,  .

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин  -мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая  -грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

МногообразияПравить

В связном многообразии   системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих  . Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны  , а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие   называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, тогда и только тогда, когда атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если   имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий  , первый вектор которого направлен из  , а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Дезориентирующий контурПравить

Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.

Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии  , причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы   на   с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.

Вдоль любого пути   можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке   определяет ориентацию в точке  , и эта связь зависит от пути   лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если   — петля, то есть  , то   называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы   в группу порядка  : дезориентирующие петли переходят в  , а остальные в  . По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над   одномерное расслоение, тривиальное, тогда и только тогда, когда   ориентируемо. Для дифференцируемого   оно может быть определено как расслоение   дифференциальных форм порядка  . Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на   и одновременно ориентацию.

На языке гомологийПравить

Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий   (с замкнутыми носителями) изоморфна  , и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для  . В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары  . Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.

Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе  , изоморфной   Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.

ПсевдомногообразияПравить

Триангулированное многообразие   (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все  -мерные симплексы так, что два симплекса с общей  -мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка  -мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую  -грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

РасслоенияПравить

Пусть над пространством   задано расслоение   со стандартным слоем  . Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путём в   однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Бесконечномерные пространстваПравить

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.

См. такжеПравить