Открыть главное меню

Ортогональная группа

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований -мерного векторного пространства над полем , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму на (то есть таких линейных преобразований , что для любого ).

Обозначения и связанные определенияПравить

  • Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно  ) преобразованиями  , а также автоморфизмами формы   (точнее, автоморфизмами пространства   относительно формы  ).
  • Обозначается  ,  ,   и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
  • Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой (  плюсов,   минусов) где  , обозначается  , см. напр. O(1,3).

СвойстваПравить

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства  , которые сохраняют  , и обозначается через   или (когда ясно о каком поле   и форме   идёт речь) просто через  .
  • Если   — матрица формы   в неком базисе пространства  , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц   с коэффициентами в  , что
     
    В частности, если базис таков, что   является суммой квадратов координат (то есть, матрица   единична), то такие матрицы   называются ортогональными.
  • Над полем вещественных чисел, группа   компактна тогда и только тогда, когда форма   знакоопределена.
    • В этом случае любой элемент из  , для подходящего базиаса представляется как блочно-диагональная матрица
       
где R1, ..., Rk — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.

Другие группыПравить

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL( ). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу  , обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S».  , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы  .

См. такжеПравить

СсылкиПравить