Открыть главное меню

Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве .

Содержание

СвойстваПравить

  • Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
  • Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования   является равенство
     
где   — сопряжённое, а   — обратное преобразования.
  • В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы   является равенство (*), где   — транспонированная, а   — обратная матрицы.
  • Собственные значения ортогональных преобразований равны   или  , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
  • Определитель ортогонального преобразования равен   (собственное ортогональное преобразование) или   (несобственное ортогональное преобразование).
  • В произвольном  -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
  • Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность 2Править

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол  , и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

 

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

 

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

 

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

 

Размерность 3Править

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность nПравить

Имеет место следующая общая теорема:

Для каждого ортогонального преобразования   евклидова  -мерного пространства   справедливо такое разложение

 

где все подпространства     и   попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования  , причём:

  • ограничение   на   есть   (тождественное преобразование),
  • ограничение   на   есть  ,
  • все пространства   двумерны (плоскости), и ограничение   на   есть поворот плоскости   на угол  .

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица   имеет блочно-диагональный вид:

 

где   — матрица поворота на угол   (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства   и число минус единиц равно размерности подпространства  .

Такая запись матрицы   ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.