Ортогональная система координат

(перенаправлено с «Ортогональные координаты»)

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

где d размерность пространства. Скалярный фактор

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора ek .

В ортогональных системах координат q = (q1, q2, …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси Ox, Oy и Oz. Ортогональные координаты представляют собой частный случай криволинейных координат. Наиболее часто в качестве ортогональных координат используются декартовы координаты, так как именно в этих координатах большинство уравнений имеют наиболее простой вид. Прочие системы ортогональных координат используются реже, в частности, для решения краевых задач, таких как задача о теплопроводности, диффузии и т. д. Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразованияПравить

Базисные векторыПравить

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

  В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых  

Для нормированных базисных векторов  , где

  — символ Кронекера.

Скалярное произведениеПравить

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

 

Векторное произведениеПравить

Векторное произведение в ортогональных системах координат вычисляется по формуле: