Открыть главное меню

Ортогональные многочлены

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

,

где каждый многочлен имеет степень , а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве .


Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах Чебышёва П. Л. по непрерывным дробям и позднее развито Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и нашло различные применения во многих областях математики и физики.

ОпределениеПравить

Ортогональность с весомПравить

Пусть  промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

 

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка   функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция   связана с пространством функций  , для которых сходится интеграл

 .

В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле

  для вещественных функций,
  для комплекснозначных функций.

Если скалярное произведение двух функций равно нулю  , то такие функции называются ортогональными с весом  . Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции.

Классическая формулировкаПравить

Систему многочленов

 

называют ортогональной, если

  1.   — многочлен степени  ,
  2.  , где   — символ Кронекера,   — нормировочный множитель.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму  . Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения   отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.

Общие свойства последовательностей ортогональных многочленовПравить

Рекуррентные соотношенияПравить

Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:

 

где

 
 ,
  и   — коэффициенты при членах   и   в полиноме  

Эта формула остаётся справедливой и для  , если положить  .

Формула Кристоффеля-ДарбуПравить

 ,

или при  

 

Корни многочленовПравить

Все корни многочлена   являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности  .

Между двумя последовательными корнями многочлена   расположен в точности один корень многочлена   и, по крайней мере, один корень многочлена  , при  .

Минимальность нормыПравить

Каждый многочлен   в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов   такой же степени и с таким же первым коэффициентом.

Полнота системыПравить

Система ортогональных многочленов   является полной. Это значит, что любой многочлен   степени n может быть представлен в виде ряда

 ,

где   коэффициенты разложения.

Дифференциальные уравнения, приводящие к ортогональным многочленамПравить

Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:

 

где   и   заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а   и   неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме

 

где   Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел   и множеству собственных функций  , обладающих следующими свойствами:

  •   — полином степени n, зависящий от  
  • последовательность   ортогональна с весовой функцией  
  • Промежуток ортогональности зависит от корней многочлена Q, причём корень L находится внутри промежутка ортогональности
  • Числа   и полиномы   могут быть получены из формул
 
  формула Родрига.

Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами

1. Якобиподобные многочлены
Q — многочлен второго порядка, L — первого. Корни Q различны и действительны, корень L лежит строго между корнями Q. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак. При помощи линейного преобразования уравнение сводится к   с интервалом ортогональности  . Решениями являются многочлены Якоби   или их частные случаи многочлены Гегенбауэра  , Лежандра   или Чебышёва обоих типов  ,  .
2. Лагерроподобные многочлены
Q и L — многочлены первого порядка. Корни Q и L различны. Первые коэффициенты Q и L имеют один знак, если корень L меньше корня Q и наоборот. Сводится к   и интервалу ортогональности  . Решениями являются обобщённые многочлены Лагерра   или их частному случаю многочленам Лагерра  .
3. Эрмитоподобные многочлены
Q — ненулевая константа, L — многочлен первого порядка. Первые коэффициенты Q и L имеют противоположный знак. Сводится к   и интервалу ортогональности  . Решениями являются многочлены Эрмита  .

Производные ортогональных полиномовПравить

Обозначим   как m-ую производную полинома  . Производная   является полиномом степени   и обладает следующими свойствами:

  • ортогональность
Для заданного m последовательность полиномов   ортогональна с весовой функцией  
 
  • дифференциальное уравнение
 , где  
  • дифференциальное уравнение второго вида
 , где  
  • рекуррентные соотношения (для удобства у коэффициентов a, b и c опущены индексы n и m)
 
 
 

Классические ортогональные многочленыПравить

Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения, описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.

Многочлены ЯкобиПравить

Многочлены Якоби обозначаются  , где параметры   и   вещественные числа больше −1. Если   и   не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки  .

  • Весовая функция   на промежутке ортогональности  
  • Дифференциальные уравнения
 
  • Собственные числа
 
  • Рекуррентная формула
 
где
 
 
 
  • Нормировка
 

Многочлены ГегенбауэраПравить

Многочлены Гегенбауэра обозначаются  , где параметр   вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров   и  

 

Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром   и соответствующей нормализацией.

  • Весовая функция   на промежутке ортогональности  
  • Дифференциальные уравнения
 
  • Собственные числа
 
  • Рекуррентная формула
 
  • Нормировка
  если    
  • Прочие свойства
 

Многочлены ЛежандраПравить

Многочлены Лежандра обозначаются   и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром  

 

  • Весовая функция   на промежутке ортогональности  
  • Дифференциальные уравнения
 
  • Собственные числа
 
  • Рекуррентная формула
 
  • Нормировка
 
  • Первые несколько многочленов
 
 
 
 
 

Многочлены ЧебышёваПравить

Многочлен Чебышёва   часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени  , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале  

 

Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра  

 

  • Весовая функция   на промежутке ортогональности  
  • Дифференциальное уравнение
 
  • Собственные числа
 
  • Рекуррентная формула
 
  • Нормировка
 

Многочлен Чебышёва второго рода   характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале   меньше всего отклоняется от нуля

 

  • Весовая функция   на промежутке ортогональности  
  • Дифференциальное уравнение
 
  • Нормировка
 

Многочлены ЛагерраПравить

Ассоциированные или обобщённые многочлены Лагерра обозначаются  , где параметр   вещественное число больше -1. Для   обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лагерра

 

  • Весовая функция   на промежутке ортогональности  
  • Дифференциальные уравнения
 
  • Собственные числа
 
  • Рекуррентная формула
 
  • Нормировка
 
  • Прочие свойства
 

Многочлены ЭрмитаПравить

  • Весовая функция   на промежутке ортогональности  
  • Дифференциальные уравнения
 
  • Собственные числа
 
  • Рекуррентная формула
 
  • Нормировка
 
  • Первые несколько многочленов
 
 
 
 
 

Построение ортогональных многочленовПравить

Процесс ортогонализации Грама-ШмидтаПравить

Система ортогональных многочленов   может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов   следующим образом. Определим проектор как

 ,

тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме

 

Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.

По моментам весовой функцииПравить

Весовая функция  , заданная на промежутке  , однозначно определяет систему ортогональных многочленов   с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

 

моменты весовой функции, тогда многочлен   может быть представлен в виде:

 .

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум   операций.

По рекуррентным формуламПравить

Если выбрать нормировку многочлена   таким образом, что коэффициент   при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

 

где

 .

Применение ортогональных многочленовПравить

Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул

 

где   и   являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов   до степени   включительно. При этом узлы   есть корни n-го полинома из последовательности полиномов  , ортогональных с весовой функцией  . Веса   вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.

Так же многочлены Чебышёва первого   и второго   типа часто используется для аппроксимации функций.

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

  • Gabor Szego. Orthogonal Polynomials. — Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. — ISBN 0-8218-1023-5.
  • Dunham Jackson. Fourier Series and Orthogonal Polynomials. — New York : Dover, 1941, 2004. — ISBN 0-486-43808-2.
  • Refaat El Attar. Special Functions and Orthogonal Polynomials. — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9.
  • Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials. — Gordon and Breach, New York, 1978. — ISBN 0-677-04150-0.

Для дальнейшего чтенияПравить