Ортогональный базис

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случайПравить

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

 

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

 

можно найти так:

 .

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора   квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

 

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случайПравить

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов   гильбертова пространства   такая, что любой элемент   однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

 

называемого рядом Фурье элемента   по системе  .

Часто базис   выбирается так, что  , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа  , называются коэффициентами Фурье элемента   по ортонормированному базису  , имеют вид

 .

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система   была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел   такая, что  , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом   ряд   — сходится по норме к некоторому элементу  . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству   (теорема Рисса — Фишера).

ПримерыПравить

  • Стандартный базис   в n-мерном евклидовом пространстве Rn является ортонормированным.
  • Множество   образует ортонормированный базис в  .

ЛитератураПравить

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.


См. такжеПравить