Ортополюс системы, состоящей из треугольника ABC и линии в данной плоскости, является точкой, определяемой следующим образом.[1]. Пусть A ′, B ′, C ′ — основания перпендикуляров, проведенных к прямой из вершин треугольника соответственно A, B, C. Пусть A ′′, B ′′, C ′′ — основания перпендикуляров, проведенных к соответствующим противоположным сторонам A, B, C указанного треугольника или к продолжениям этих сторон. Тогда три прямые линии A ′ A ′′, B ′ B ′′, C ′ C ′′, пересекутся в одной точке — в ортополюсе H.[2] Благодаря своим многочисленным свойствам[3] ортополюсы стали предметом серьезного изучения [4]. Изучались некоторые ключевые понятия — определение линий, имеющих данный ортополюс [5] и ортополюсные окружности.[6]

Orthopole.svg

СвойстваПравить

Ортополюс и ортоцентрПравить

  • Если прямая ортополюса P проходит через ортоцентр Q треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера этого треугольника.[7]
  • Ортоцентр Q треугольника является ортополюсом его сторон относительно самого треугольника.[8]

Ортополюс как радикальный центрПравить

  • Ортополюс P прямой линии треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.[9]

Ортополюс и описанная окружностьПравить

Ортополюс и прямая СимсонаПравить

  • Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия перпендикулярна ей.[3]
  • Если прямая ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ[3]

Ортополюсы параллельных прямыхПравить

  • Если прямая ортополюса перемещается параллельно самой себе, то ее ортополюс смещается вдоль линии, перпендикулярной , на расстояние, равное перемещению.[3]
  • Ортополюсы двух параллельных прямых лежат на общем для них перпендикуляре к двум прямым на расстоянии, равном расстоянию между прямыми.[12]

Ортополюсы троек вершин четырехугольникаПравить

Если задана фиксированная прямая линия , и выбрана любая из трех вершин четырехугольника, то все ортополюсы данной прямой линии относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией данной линии относительно четырехугольника.[13]

Коника (эллипс), порожденная ортополюсамиПравить

  • Известно (см. [14][15]), что нахождение для данного фиксированного треугольника всех ортополюсов   для всех прямых  , проходящих через неподвижную точку  , порождает конику, которая всегда является эллипсом, касательным в 3 точках к дельтоиде Штейнера данного треугольника. Коника вырождается в прямую (отрезок), когда точка   находится на описанной окружности треугольника  . Эта коника обобщает свойство, обсуждаемое в статье [16], согласно которому для точки  , совпадающей с центром описанной окружности   треугольника, коника становится окружностью Эйлера [17]
  • Замечание. В данной статье в параграфе "Ортополюс и описанная окружность" упомянутое выше свойство звучит так:
Если прямая ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.[3][18]

Точки Фейербаха , как ортополюсыПравить

В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно  , касающиеся соответственно 3 разных сторон   треугольника или их продолжений, - называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers) [19]. Это замечание важно для следующего утверждения.

Точки Фейербаха треугольника являются ортополюсами данного треугольника, если в качестве прямых для этих ортополюсов взяты диаметры описанной окружности, проходящие через соответствующие трехкасательные центры [20]. Последнее утверждение есть следствие утверждения, указанного ниже.

Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность - по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точки Фейербаха могут быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности Эйлера[21].

ОбобщениеПравить

Существование ортополюса вытекает из более общей теоремы, так называемой теоремы Штейнера об ортологических треугольниках [22].

Теорема Штейнера об ортологичных треугольниках утверждает [23], [24], что, если Δ ABC ортологичен Δ A'B'C' , то это эквивалентно тому, что Δ A'B'C' ортологичен Δ ABC. В случае ортополюса проекции вершин треугольника ABC на прямую линию — точки A' , B' , C' — можно считать вершинами вырожденного треугольника, а параллельные перпендикуляры — пересекающимися в бесконечно удаленной точке.

  • Треугольники ортологические — треугольники ABC и A1B1C1, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые B1C1, C1A1 и A1B1 пересекаются в одной точке. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на прямые BC, CA и AB также пересекаются в одной точке.

ИсторияПравить

Ортополюс был открыт математиком М. Сунсом (M. Soons) в 1886-м году в статье на с. 57 в бельгийском научном журнале по элементарной математике Mathesis (journal)  (англ.), основанным в 1881 году Полем Мансионом (Paul Mansion) и Жозефом Жаном Батистом Нойбергом (Joseph Jean Baptiste Neuberg), а сам термин ортополюс (orthopole) предложен упомянутым Нойбергом в журнале "Mathesis" за 1911-й год на с. 244 согласно источникам[25],[26]

См. такжеПравить

Полюс и поляра

СсылкиПравить

  1. MathWorld: Orthopole. Дата обращения: 20 июня 2020. Архивировано 31 декабря 2019 года.
  2. Архивированная копия. Дата обращения: 20 июня 2020. Архивировано 25 февраля 2017 года.
  3. 1 2 3 4 5 6 The Orthopole (21 January 2017). Дата обращения: 20 июня 2020. Архивировано 22 июня 2020 года.
  4. "The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle" Author(s): O. J. Ramler The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 3 (Mar., 1930), pp. 130–136 Published by: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 Архивная копия от 27 июня 2020 на Wayback Machine
  5. "The Projective Theory of Orthopoles", Sister Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly, Vol. 39, No. 6 (June–July, 1932), pp. 327–338 Published by: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 Архивная копия от 24 июня 2020 на Wayback Machine
  6. Goormaghtigh, R. (1 December 1946). “1936. The orthopole”. The Mathematical Gazette. 30 (292): 293. DOI:10.2307/3610737. JSTOR 3610737. Архивировано из оригинала 2017-02-25. Дата обращения 2020-06-20 – via Cambridge Core. Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)
  7. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §699. Theorem. Fig. 156. P. 290-291.
  8. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §Exercises. §1. P. 291.
  9. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. §Exercises. §6. P. 291.
  10. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §694, Fig. 155, p. 288.
  11. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §697. Theorem, Fig. 155, p. 289-290.
  12. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §693, Fig. 154, p. 287-288
  13. Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Архивная копия от 22 июня 2020 на Wayback Machine
  14. Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, pp. 106-110.
  15. Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, p. 17.
  16. Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Архивная копия от 5 августа 2020 на Wayback Machine
  17. "5. Conic generated by orthopoles" In: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Архивная копия от 8 июля 2020 на Wayback Machine
  18. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole, §694. Fig. 155, p. 288.
  19. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. The tritangent centers. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
  20. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. Corollary. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
  21. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
  22. Ошибка в сносках?: Неверный тег <ref>; для сносок автоссылка2 не указан текст
  23. Ошибка в сносках?: Неверный тег <ref>; для сносок автоссылка3 не указан текст
  24. Ошибка в сносках?: Неверный тег <ref>; для сносок автоссылка4 не указан текст
  25. Ion Pătrașcu. THE DUAL OF THE ORTHOPOLE THEOREM// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Архивная копия от 28 июля 2020 на Wayback Machine
  26. Nathan Altshiller-Court.College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 306, §692, §694

ЛитератураПравить