Открыть главное меню
Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

ФормулировкаПравить

Если   непрерывна на отрезке   и   — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

 


Замечание. Применение формулы к разрывной или к неограниченной функции может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

  хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки — подынтегральная функция разрывна (и не ограничена) в нуле, поэтому формула Ньютона—Лейбница к ней неприменима.

ИсторияПравить

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Интеграл ЛебегаПравить

Функция   представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции  . Функция   является абсолютно непрерывной.

Теорема (Лебег):  абсолютно непрерывна на отрезке   тогда и только тогда, когда существует интегрируемая на   функция   такая, что    .

Из этой теоремы вытекает, что если   абсолютно непрерывна на  , то её производная существует почти всюду, интегрируема и удовлетворяет равенству[1]:

 ,  .

Некоторые следствияПравить

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу замены переменных, а также теорему о разложении Лебега монотонных функций[1].

Интегрирование по частямПравить

Пусть   и   - абсолютно непрерывные функции на отрезке  . Тогда:

 .

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница[1].

Вариации и обобщенияПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188-197. — 724 с. — ISBN 978-5-93972-742-6.

ЛитератураПравить

  • Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
  • Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.