Основная теорема о рекуррентных соотношениях

Основная теорема о рекуррентных соотношениях используется в анализе алгоритмов для получения асимптотической оценки рекурсивных соотношений (рекуррентных уравнений), часто возникающих при анализе алгоритмов типа «разделяй и властвуй», например, при оценке времени их выполнения. Теорема была введена и доказана Джоном Бентли, Доротеном Хакеном и Джеймсом Хакеном в 1980 году. Теорема была популяризована в книге Алгоритмы: построение и анализ (Томас Кормен, Чарльз Лейзерстон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн), в которой она была приведена.

Не все рекурсивные соотношения могут быть решены с помощью основной теоремы. Существует несколько её обобщений, в том числе метод Акры — Бацци.

Описание

Рассмотрим задачу, которую можно решить рекурсивным алгоритмом:

function T(input n: размер задачи):
  if n < некоторая константа k:
    решить задачу относительно n нерекурсивно
  else:
    определить множество из a подзадач, каждая размера n/b
    вызвать функцию T рекурсивно для каждой подзадачи
    объединить решения
end

Дерево решений

В приведённом примере алгоритм рекурсивно разделяет исходную задачу размера n на несколько новых подзадач, каждая размером n/b. Такое разбиение может быть представлено в виде дерева вызовов, в котором каждый узел соответствует рекурсивному вызову, а ветви, исходящие из узла — последующим вызовам для подзадач. Каждый узел будет иметь a ветвей. Также в каждом узле производится объём работы, соответствующий размеру текущей подзадачи n (переданному в данный вызов функции) согласно соотношению $f(n)$. Общий объём работы алгоритма определяется как сумма всех работ в узлах данного дерева.

Вычислительная сложность подобных алгоритмов может быть представлена в виде рекуррентного соотношения $T(n)=a\,T\left({\frac {n}{b}}\right)+f(n)$. Его можно решить путём многократных подстановок выражения $T\left({\frac {n}{b}}\right)$.

С помощью основной теоремы возможно быстрое вычисление подобных соотношений, что позволяет получить асимптотическую оценку времени работы рекурсивных алгоритмов в нотации O(n) (Θ-нотации), не производя подстановок.

Общая форма

Основная теорема рассматривает следующие рекуррентные соотношения:

$T(n)=a\,T\left({\frac {n}{b}}\right)+f(n),\quad {\text{где}}~a\geqslant 1,\ b>1.$

В применении к анализу алгоритмов константы и функции обозначают:

n — размер задачи.

a — количество подзадач в рекурсии.

n/b — размер каждой подзадачи. (Предполагается, что все подзадачи на каждом этапе имеют одинаковый размер.)

f (n) — оценка сложности работы, производимой алгоритмом вне рекурсивных вызовов. В неё также включается вычислительная стоимость деления на подзадачи и объединения результатов решения подзадач.

Основная теорема позволяет получить асимптотическую оценку для следующих трёх случаев:

Вариант 1

Общая форма

Если $f(n)=O(n^{c})$, и выполняется соотношение $c<\log _{b}a$, тогда:

$T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right).$

Пример

$T(n)=8T\left({\frac {n}{2}}\right)+1000n^{2}.$

Согласно формуле, значения констант и сложности нерекурсивной части задачи:

$a=8,\ b=2,\ f(n)=1000n^{2},$

$f(n)=O(n^{c})$, где $c=2$.

Затем проверяем, выполняется ли соотношение 1-го варианта:

$\log _{b}a=\log _{2}8=3>c$.

Следовательно,

$T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)=\Theta (n^{3}).$

(Для данного примера точное решение рекуррентности даёт $T(n)=1001n^{3}-1000n^{2}$, при условии $T(1)=1$.)

Вариант 2

Общая форма

Если для некоторой константы $k\geqslant 0$ выполняется

$f(n)=\Theta (n^{c}\log ^{k}n)$, где $c=\log _{b}a$.

Тогда

$T(n)=\Theta (n^{c}\log ^{k+1}n).$

Пример

$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+10n.$

Согласно формуле, значения констант и сложности не рекурсивной части задачи:

$a=2,\ b=2,\ c=1,\ f(n)=10n,$

$f(n)=\Theta (n^{c}\log ^{k}n)$, где $c=1,\ k=0$.

Проверяем соотношение варианта 2:

$\log _{b}a=\log _{2}2=1$, и следовательно, $c=\log _{b}a$.

В соответствии с 2-м вариантом основной теоремы,

$T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{k+1}n\right)=\Theta (n^{1}\log ^{1}n)=\Theta (n\log n).$

Таким образом, рекуррентное соотношение T(n) равно Θ(n log n).

(Этот результат может быть проверен точным решением соотношения, в котором $T(n)=n+10n\log _{2}n$, при условии $T(1)=1$.)

Вариант 3

Общая форма

Если выполняется

$f(n)=\Omega (n^{c})$, где $c>\log _{b}a$,

а также верно, что

$af\left({\frac {n}{b}}\right)\leqslant kf(n)$ для некоторой константы $k<1$ и достаточно больших $n$ (так называемое условие регулярности), тогда

$T(n)=\Theta {\big (}f(n){\big )}.$

Пример

$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+n^{2}.$

Значения констант и функции:

$a=2,\ b=2,\ f(n)=n^{2},$

$f(n)=\Omega (n^{c})$, где $c=2$.

Проверяем, что выполняется соотношение из варианта 3:

$\log _{b}a=\log _{2}2=1$, и, следовательно, $c>\log _{b}a$.

Также выполняется условие регулярности:

$2\left({\frac {n^{2}}{4}}\right)\leqslant kn^{2}$ при выборе $k=1/2$.

Следовательно, согласно 3-му варианту основной теоремы,

$T(n)=\Theta {\big (}f(n){\big )}=\Theta (n^{2}).$

Данное рекуррентное соотношение T(n) равно Θ(n²), что совпадает с f(n) в изначальной формуле.

(Этот результат подтверждается точным решением рекуррентности, в котором $T(n)=2n^{2}-n$, при условии $T(1)=1$.)

Выражения, не решаемые основной теоремой

Следующие соотношения не могут быть решены с применением основной теоремы:

• $T(n)=2^{n}T\left({\frac {n}{2}}\right)+n^{n}.$

  a не является константой, для основной теоремы требуется постоянное количество подзадач.

• $T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {n}{\log n}}.$

  Между f(n) и $n^{\log _{b}a}$ существует неполиномиальная зависимость.

• $T(n)=0{,}5T\left({\frac {n}{2}}\right)+n.$

  a < 1, но основная теорема требует наличия хотя бы одной подзадачи.

• $T(n)=64T\left({\frac {n}{8}}\right)-n^{2}\log n.$

  f(n) является отрицательной величиной.

• $T(n)=T\left({\frac {n}{2}}\right)+n(2-\cos n).$

  Близко к варианту 3, но не выполняется условие регулярности.

Во втором примере разница между $f(n)$ и $n^{\log _{b}a}$ может быть выражена соотношением ${\frac {f(n)}{n^{\log _{b}a}}}={\frac {\frac {n}{\log n}}{n^{\log _{2}2}}}={\frac {n}{n\log n}}={\frac {1}{\log n}}.$ Из него видно, что ${\frac {1}{\log n}}<n^{\varepsilon }$ для любой константы $\varepsilon >0$. Следовательно, разница не является полиномом, и основная теорема неприменима.

Применение к некоторым алгоритмам

Алгоритм	Рекуррентное соотношение	Время работы	Примечание
Двоичный поиск	$T(n)=T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(1)$	$O(\log n)$	Основная теорема, 2 вариант: $c=\log _{b}a$, где $a=1,b=2,c=0,k=0$
Обход двоичного дерева	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(1)$	$O(n)$	Основная теорема, 1 вариант: $c<\log _{b}a$ где $a=2,b=2,c=0$
Алгоритм Штрассена	$T(n)=7T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(n^{2})$	$O(n^{\log _{2}7})\approx O(n^{2{,}81})$	Основная теорема, 1 вариант: $c<\log _{b}a$, где $a=7,b=2,c=2$
Optimal sorted matrix search	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(\log n)$	$O(n)$	Теорема Akra — Bazzi для $p=1$ и $g(u)=\log(u)$ для получения $\Theta (2n-\log n)$
Сортировка слиянием	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(n)$	$O(n\log n)$	Основная теорема, 2 вариант: $c=\log _{b}a$, где $a=2,b=2,c=1,k=0$

См. также

• Akra–Bazzi method

Литература

• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4. Главы 4.3 (основная теорема) и 4.4 (доказательство)
  • Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. Introduction to Algorithms. — 2nd. — MIT Press and McGraw-Hill, 2001. — ISBN 0-262-53196-8. Sections 4.3 (The master method) and 4.4 (Proof of the master theorem), pp. 73-90. (англ.)
• Michael T. Goodrich and Roberto Tamassia. Algorithm Design: Foundation, Analysis, and Internet Examples. Wiley, 2002. ISBN 0-471-38365-1. The master theorem (including the version of Case 2 included here, which is stronger than the one from CLRS) is on pp. 268—270. (англ.)
• CHAPTER 5. RECURSION AND RECURRENCES 5.2 The Master Theorem Архивная копия от 21 апреля 2017 на Wayback Machine, CS 21/Math 19 — Course Notes Архивная копия от 21 июля 2010 на Wayback Machine, Ken Bogart and Cliff Stein: Discrete Math in Computer Science.