Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество — соотношение $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$, выполняющееся для произвольного значения $\alpha$. Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.

Доказательства

Используя единичную окружность

Единичная окружность с центром в начале координат определяется уравнением $x^{2}+y^{2}=1$. Пускай на окружности лежит точка P, расположенная под углом θ от оси абсцисс. Тогда координаты этой точки: $x=\cos \theta ;\ y=\sin \theta$. Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$.

Используя прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c

По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c получаем:

$\sin \theta ={\frac {b}{c}}$

$\cos \theta ={\frac {a}{c}}$

Возведём эти выражения в квадрат и прибавим: $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}$. Согласно теореме Пифагора, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, следовательно $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1$.

См. также

• Тригонометрические тождества
• Список математических тождеств