Открыть главное меню

Особая точка (дифференциальные уравнения)

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскостиПравить

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

 ,

где   — точка на плоскости,  матрица  . Очевидно, точка   в случае невырожденной матрицы   является единственной особой точкой такого уравнения.

В зависимости от собственных значений матрицы  , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений Тип особой точки Тип фазовых траекторий Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые Центр окружности, эллипсы  
Комплексные с отрицательной действительной частью Устойчивый фокус Логарифмические спирали  
Комплексные с положительной действительной частью Неустойчивый фокус Логарифмические спирали  
Действительные отрицательные Устойчивый узел параболы  
Действительные положительные Неустойчивый узел параболы  
Действительные разных знаков Седло гиперболы  

См. такжеПравить