Осциллятор Ван дер Поля

Осциллятор Ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием, подчиняющийся уравнению

Фазовый портрет осциллятора. Виден предельный цикл.
Изменение формы предельного цикла при изменении
, где
 — координата точки, зависящая от времени ;
 — коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний.

ИсторияПравить

Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем, во время его работы в компании Philips.[1] Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными,[2] известные как «предельные циклы» В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили,[3] что на определенных частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса.[4]

Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии. Так, например, в биологии создана модель Фитц Хью-Нагумо Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов.[5]

Двумерный случайПравить

С помощью теоремы Льенара можно доказать, что система имеет предельный цикл. Из данной теоремы следует, что  . Отсюда можно вывести[6] уравнения осциллятора Ван дер Поля для двумерного случая:

 .

Можно также совершить другую замену   и получить

 .

Осциллятор со свободными колебаниямиПравить

 
Релаксационные колебания осциллятора.  .

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при   и при  . Очевидно, что третьего режима —   — не существует, так как затухание в системе не может быть отрицательным.

1) Когда  , то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду
 .
Это уравнение гармонического осциллятора.
2) При   система имеет некие предельные циклы. Чем дальше   от нуля, тем колебания осциллятора менее похожи на гармонические.

Вынужденные колебанияПравить

 
Хаотичное поведение осциллятора при воздействии внешней гармонической вынуждающей силы.  

Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле

 , где
  — амплитуда внешнего гармонического сигнала,
  — его угловая частота.
 
Принципиальная схема на триоде.

ПримечанияПравить

  1. Cartwright, M.L., «Balthazar van der Pol» Архивная копия от 18 октября 2019 на Wayback Machine, J. London Math. Soc., 35, 367—376, (1960).
  2. Van der Pol, B., «On relaxation-oscillations», The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978—992 (1927).
  3. Van der Pol, B. and Van der Mark, J., «Frequency demultiplication», Nature, 120, 363—364, (1927).
  4. Kanamaru, T., «Van der Pol oscillator» Архивная копия от 9 июля 2009 на Wayback Machine, Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).
  5. Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., «Dynamics of elastic excitable media», Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197—2202, (1999).
  6. Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240—244, (1995)

См. такжеПравить

СсылкиПравить