Открыть главное меню

Открытое множество

(перенаправлено с «Открытое подмножество»)

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей - не является открытым.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры)[1][2]. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Евклидово пространствоПравить

Пусть   есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда   называется открытым, если   такое что  , где   — ε-окрестность точки  

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, интервал   как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок   или полуинтервал   не являются открытыми, так как точка   принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.

Метрическое пространствоПравить

Пусть   — некоторое метрическое пространство, и  . Тогда   называется открытым, если   такое что  , где   — ε-окрестность точки   относительно метрики  . Другими словами, множество   в метрическом пространстве   называется открытым множеством, если каждая точка   множества   входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке  [3].

Топологическое пространствоПравить

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство   по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств   — «топологию», определённую на  . Подмножество  , такое, что оно является элементом топологии (то есть  ), называется открытым множеством относительно топологии  .

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество    содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества   [4].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Appert, Antoine.  Sur le meilleur terme primitif en topologie (фр.) // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. — 1982. — No 3. — P. 65. Архивировано 17 февраля 2009 года.
  2. open set на everything2.com (англ.)
  3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 29
  4. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24—25.