Отношение порядка

Бинарное отношение на множестве называется отношением нестрогого частичного порядка (отношением порядка, отношением рефлексивного порядка), если имеют место

Множество , на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным. Отношение нестрогого частичного порядка часто обозначают знаком .

ВариантыПравить

Отношение частичного порядка   называется линейным порядком, если выполнено условие

 .

Множество  , на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным, или цепью.

Отношение  , удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется предпорядком, или квазипорядком.

Строгий порядокПравить

Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:

 ,

то получим определение строгого, или антирефлексивного частичного порядка (обозначается обычно символом  ).

Замечание. Одновременная антирефлексивность и транзитивность отношения влечёт асимметричность, которое является более сильным условием, чем антисимметричность. Поэтому отношение является отношением строгого порядка тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и транзитивно.

В общем случае, если   — транзитивное, антисимметричное отношение, то

  — рефлексивный порядок
  — строгий порядок.

ПримерыПравить

  • На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.
  • Отношение делимости на множестве натуральных чисел является отношением нестрогого порядка.

Размерность Душника — МиллераПравить

Размерность Душника — Миллера (англ.) (иногда называемая просто размерность) частичного порядка — это наименьшее количество отношений линейного порядка, пересечение которых равно данному частичному порядку. Задача распознавания того, превосходит ли размерность данного конечного частичного порядка число   принадлежит к классу P при   но является NP-полной при  [1]

ИсторияПравить

Знаки   и   изобретены Хэрриотом.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. Yannakakis, Mihalis (1982), «The complexity of the partial order dimension problem», SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods 3 (3): 351—358