Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности — абстрактное бинарное отношение между элементами данного множества, которое ведёт себя сходно с отношением равенства.

Содержание

ОпределениеПравить

Отношение эквивалентности ( ) на множестве   — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

  1. рефлексивность:   для любого   в  ;
  2. симметричность: если  , то  ;
  3. транзитивность: если   и  , то  .

Запись вида « » читается как «  эквивалентно  ».

Связанные определенияПравить

Классом эквивалентности   элемента   называется подмножество элементов, эквивалентных  ; то есть,

 .

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если  , то  .

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества   по заданному отношению  , обозначается  .

Для класса эквивалентности элемента   используются следующие обозначения:  ,  ,  .

Множество классов эквивалентности по отношению   является разбиением множества.

ПримерыПравить

Классы эквивалентностиПравить

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности  , обозначается символом   и называется фактор-множеством относительно  . При этом сюръективное отображение

 

называется естественным отображением (или канонической проекцией)   на фактор-множество  .

Пусть   и   — множества,   — отображение, тогда бинарное отношение  , определённое правилом

 ,

является отношением эквивалентности на  . При этом отображение   индуцирует отображение  , определяемое правилом

 

или, что то же самое,

 .

При этом получается факторизация отображения   на сюръективное отображение   и инъективное отображение  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
  • А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
  • Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.