Кубическая функция

Куби́ческая фу́нкция в математике — это числовая функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ вида

График кубической функции

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\quad x\in \mathbb {R} ,$

где $a\neq 0.$ Другими словами, кубическая функция задаётся многочленом третьей степени.

Аналитические свойства

Производная кубической функции $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ имеет вид $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$. В случае, когда дискриминант ${\frac {D}{4}}=b^{2}-3ac$ полученного квадратного уравнения $f'(x)=0$ больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции $f$. При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной $f''$ определяет точку перегиба $x=-b/3a$.

График

График кубической функции называется куби́ческой пара́болой. В литературе часто встречаются альтернативные определения кубической параболы как графика функции $y=ax^{3}$ или $y=x^{3}$. Легко видеть, что, применяя параллельный перенос, можно привести кубическую параболу к виду, когда она будет задаваться уравнением $y=ax^{3}-px$. Путём применения аффинных преобразований плоскости можно добиться, чтобы $a=1$ и $p=0$. В этом смысле все определения будут эквивалентны.

Кроме того, кубическая парабола

• центрально-симметрична относительно точки перегиба,
• всегда пересекает линию абсцисс хотя бы в одной точке,
• не имеет общих точек со своей касательной в точке перегиба, кроме как в самой точке касания.

Поведение графика при изменении коэффициентов

Коэффициент при кубе	Коэффициент при квадрате	Коэффициент при первой степени

Коллинеарность

Касающиеся прямые в трёх коллинеарных точках графика кубической функции пересекают график снова в коллинеарных точках.

Применение

Кубическую параболу иногда применяют для расчёта переходной кривой на транспорте, так как её вычисление намного проще, чем построение клотоиды.

См. также

• Парабола
• Кубика
• Кубическое уравнение
• Сплайн

Литература

• Л. С. Понтрягин, Кубическая парабола // «Квант», 1984, № 3.
• И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, «Справочник по математике», издательство «Наука», М. 1967, с. 84