Параболическое уравнение

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Визуализация решения параболического уравнения (уравнения теплопроводности)

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции $u:R^{n}\rightarrow R$:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть $a_{ij}=a_{ji}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

$\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+\mathbf {b} \cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$,

где $A=A^{T}$.
Матрица $A$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна $(n-1,0)$, то есть матрица $A$ имеет одно собственное значение, равное нулю, и $n-1$ собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:

$Lu+a{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},t)$,

где $L$ — эллиптический оператор, $a\neq 0$.

Решение параболических уравнений

Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.

• Для нахождения решений параболических уравнений, в том числе и абстрактных параболических уравнений, могут применяться методы теории полугрупп операторов.
• Для аналитического решения параболических уравнений в бесконечной области (задача Коши для параболического уравнения) используют специальную интегральную формулу.
• Для аналитического решения параболических уравнений в конечной области может применяться метод разделения переменных Фурье.
• Для численного решения параболических уравнений используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объёмов, а также их комбинации и другие численные методы, подходящие для решаемой задачи.

Принцип максимума

Для параболического уравнения вида:

$-a^{2}\Delta u+\partial _{t}u=0\ (x_{1},\ldots \,x_{n-1})\in \Omega$

Решение $u(x_{1},\ldots ,x_{n-1},t)$ принимает своё максимальное значение либо при $t=0$, либо на границе области $\Omega$.

Примеры параболических уравнений

• Уравнения описывающие процессы конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай — уравнение теплопроводности.
• Система уравнений Навье-Стокса, описывающее движение жидкости и газов является системой параболических уравнений с дивергентными ограничениями.
• Для некоторых типов сред из уравнений Максвелла можно получить параболические уравнения относительно векторов $\mathbf {A}$ или $\mathbf {E}$.

См. также

• Эллиптические уравнения
• Гиперболическое уравнение
• Автоволны