Параболическое уравнение

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Визуализация решения параболического уравнения (уравнения теплопроводности)

Определение

править

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции  :

 

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть  . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

 ,

где  .
Матрица   называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна  , то есть матрица   имеет одно собственное значение, равное нулю, и   собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:

 ,

где   — эллиптический оператор,  .

Решение параболических уравнений

править

Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.

Принцип максимума

править

Для параболического уравнения вида:

 

Решение   принимает своё максимальное значение либо при  , либо на границе области  .

Примеры параболических уравнений

править

См. также

править

Примечания

править
  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.
  2. Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов. Дифференциальные уравнения математической физики. — Москва: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2002. — 368 с. — ISBN 5-7038-1270-4.
  3. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.