Открыть главное меню
Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Содержание

СвойстваПравить

 
Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.
 
Противоположные углы параллелограмма равны, а сумма соседних равна 180°.
  • Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  • Противолежащие углы параллелограмма равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
     .
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
  • Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC,   и   — длины диагоналей; тогда
     
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограммаПравить

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

  1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны:  .
  2. Все противоположные углы попарно равны:  .
  3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны:  .
  4. Все противоположные стороны попарно параллельны:  .
  5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам:  .
  6. Сумма соседних углов равна 180 градусов:  .
  7. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
  8. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника:  .

Площадь параллелограммаПравить

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

  , где   — сторона,   — высота, проведенная к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

 
где   и   — стороны, а   — угол между сторонами   и  .

Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны   и длину любой из диагоналей   по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

 
где  

См. такжеПравить

ПримечанияПравить