Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμονπαράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (См. другие определения Перейти к разделу «Признаки параллелограмма»)

Параллелограмм

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

СвойстваПравить

 
Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.
 
Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°
  • Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  • Противолежащие углы параллелограмма равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
     .
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
  • Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
  — длина стороны  ,
  — длина стороны  ,
  и   — длины диагоналей; тогда
 
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограммаПравить

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

  1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны:  .
  2. Все противоположные углы попарно равны:  .
  3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны:  .
  4. Все противоположные стороны попарно параллельны:  .
  5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам:  .
  6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
  7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника:  .

Площадь параллелограммаПравить

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

  , где   — сторона,   — высота, проведённая к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними:

 
где   и   — стороны, а   — угол между сторонами   и  .

Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны   и длину любой из диагоналей   по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

 
где  

См. такжеПравить

ПримечанияПравить