Параллельные прямые

Паралле́льные прямы́е (от др.-греч. παράλληλος буквально «идущий рядом; идущий вдоль другого») в планиметриинепересекающиеся прямые. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Линейка для черчения параллельных прямых

В евклидовой геометрииПравить

 
На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными[2][3].

Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности[4].

Параллельность прямых   и   принято обозначать следующим образом:  

СвойстваПравить

  • Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
  • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
    • Соответственные углы равны (Рис.1).
    • Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
    • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).
     
Рис.1: Соответственные углы равны,  . Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны,  . Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными,  .
  • Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  • Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

Построение параллельных прямыхПравить

Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:

  1. Построение прямой  , относительно которой нужно построить параллельную прямую.
  2. Построение прямой  , перпендикулярной прямой   (см. построение перпендикуляра).
  3. Построение прямой  , перпендикулярной прямой b, и не совпадающей с прямой   (аналогично построению прямой  ).

В стереометрииПравить

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.

В геометрии ЛобачевскогоПравить

 
Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку   вне данной прямой   проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих  . Прямая   называется равнобежной прямой   в направлении от   к  , если:

  1. точки   и   лежат по одну сторону от прямой  ;
  2. прямая   не пересекает прямую  , но всякий луч, проходящий внутри угла  , пересекает луч  .

Аналогично определяется прямая, равнобежная   в направлении от   к  .

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися[5].

СвойстваПравить

  • Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
    • Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.
  • Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Параллельные прямые // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. Земляков А. Н. Аксиоматический подход к геометрии (тезисы) // Математическое образование. — 2001. — № 3(18). — С. 4-21.
  3. Адамар Ж. Элементарная геометрия. — М., 1948. — С. 52.
  4. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику (Начальные понятия). — М.: Наука, 1965. — С. 259. — 376 с.
  5. Математический справочник. Дата обращения: 8 июля 2016. Архивировано из оригинала 23 сентября 2016 года.