Пара (математика)

Пара в математике может быть определена с различных точек зрения.

Определение пары в формальной математике

Пусть $\mathbf {T}$ и $\mathbf {U}$ — термы и $\complement$ — субстантивный знак веса 2, тогда знакосочетание $\complement TU$ также является термом и обозначается $(\mathbf {TU} )$. Подробнее: соотношение $(\exists x)(\exists y)(z=(x,\;y))$ обозначают словами «$z$ есть пара».

Имеет место так называемая аксиома пары.

Аксиома пары

$\forall x\forall y\forall x'\forall y'((x,\;y)=(x',\;y')\to x=x'\land y=y').$

Определение пары в теории множеств

См. также: Теория множеств

Число элементов множества $A$ равно 1, или $A$ состоит из одного элемента $a$, тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества $\{a\}$ получается пустое множество: $A\setminus \{a\}=\varnothing$.

Непустое множество $A$ называется множеством из двух элементов, или парой: $A=\{a,\;b\}$, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента $a\in A$, останется множество, которое состоит также из одного элемента $b\in A$. При таком определении пары (как и вообще множества, состоящего из любого числа элементов) не зависит от выбора и порядка следования указанного элемента $a\in A$.

Упорядоченная пара

Основная статья: Кортеж (математика)

Если задана пара $\{a,\;b\}$, то множество $\{\{a\},\{a,\;b\}\}$ называется упорядоченной парой и обозначается $(a,\;b)$. При этом элемент $a$ называется первым элементом, а элемент $b$ — вторым элементом пары.

В формальной математике первый элемент упорядоченной пары $A=(a,\;b)$ называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается $\mathrm {pr} _{1}A$. Аналогично второй элемент пары $A$ называется второй координатой или второй проекцией и обозначается $\mathrm {pr} _{2}A$.