Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции называют такую , производная которой (на всей области определения) равна , то есть . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция является первообразной .

Если  — первообразная , то любая функция, полученная из  добавлением константы: тоже является первообразной . Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет целое семейство первообразных . Верно и обратное: если  — первообразная , и функция определена на каком-либо интервале, тогда каждая первообразная отличается от на константу: всегда существует число , такое что для всех . Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения . Число называют постоянной интегрирования.

Например, семейство первообразных функции является , где  — любое число.

Если область определения функции не является интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу. Так, например, семейством первообразных функции являются функции , где является константой при и, вообще говоря, другой константой при :

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если  — первообразная интегрируемой функции , то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции называют неопределённым интегралом (общим интегралом) и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Каждая непрерывная функция имеет первообразную , одна из которых представляется в виде интеграла от с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с не непрерывна при , но имеет первообразную с .

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

.

Содержание

Свойства первообразнойПравить

  • Первообразная суммы равна сумме первообразных
  • Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
  • Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции   является непрерывность   на этом отрезке
  • Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции   первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
  • У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрированияПравить

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

Другие определенияПравить

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной   и выполнения всюду равенства  , иногда в определении используют обобщения производной.

Определение первообразной через предел  -ой производной[источник не указан 1311 дней]Править

Функция   называется первообразной для функции   если будет существовать предел для функции   являющейся производной  -го порядка для функции   то есть

 

Теорема. Данное определение эквивалентно основному определению.

В самом деле,

 

Пример 1. Вычислим первообразную для функции  

И так,

  при условии, что  

Поскольку

 

Получаем

 

Пример 2. Вычислим первообразную для функции  

 
 
 
 
 
 
 

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

См. такжеПравить