Открыть главное меню

Первообрáзная (иногда называемая примити́вной функцией) — одно из важнейших понятий математического анализа вещественной переменной (существуют также обобщения этого понятия для комплексных функций[1]).

ОпределениеПравить

Первообразной для данной функции   называют[2] такую функцию  , производная которой равна   (на всей области определения  ), то есть  . Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию — последнее по заданной функции находит её производную, а найдя первообразную, мы, наоборот, по заданной производной определили исходную функцию.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять определённые интегралы. Если   — первообразная интегрируемой непрерывной функции  , то:

 

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Технически нахождение первообразной заключается в вычислении неопределённого интеграла для  , а сам процесс называется интегрированием. О применении этой теории в геометрии см. Интегральное исчисление.

Пример: функция   является первообразной для   потому что  

НеоднозначностьПравить

Если   — первообразная для  , то любая функция, полученная из   добавлением константы:   тоже является первообразной для  . Таким образом, если функция имеет первообразную, то она входит в целое семейство первообразных[2]   которое называется неопределённым интегралом   и записывается в виде интеграла без указания пределов:

 

Верно и обратное: если   — первообразная для  , и функция   определена на каком-либо интервале, тогда каждая первообразная   отличается от   на константу: всегда существует число  , такое что   для всех  . Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения   Число   называют постоянной интегрирования.

Например, семейство первообразных для функции   имеет вид:  , где   — любое число.

Если область определения функции   не является сплошным интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу[3]. Так, например, функция   не существует в нуле, поэтому её область определения состоит из двух интервалов:   и   Соответственно получаются два независимых семейства первообразных на этих интервалах:  , где   является константой при   и, вообще говоря, другой константой при  :

 

СуществованиеПравить

Каждая непрерывная функция   имеет первообразную  , одна из которых представляется в виде интеграла от   с переменным верхним пределом:

 

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например,   с   не непрерывна при  , но имеет первообразную   с  . Для разрывных ограниченных функций вместо интеграла Римана удобно использовать более общий интеграл Лебега. Необходимыми условиями существования первообразной являются принадлежность функции   первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу[2].

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

 .

Свойства первообразнойПравить

  • Первообразная суммы равна сумме первообразных.
  • Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции.
  • У всех функций, непрерывных на отрезке, существуют и первообразная, и интеграл по Риману. Однако в общем случае существование первообразной и интегрируемость функции не связаны[4]:
    • Функция знака (sgn) интегрируема по Риману, но не имеет первообразной (из-за разрыва в нуле).
    • У функции   (положим также  ) на отрезке   имеется конечная производная   таким образом, у функции   существует первообразная (а именно,  ), но   не ограничена на   и поэтому не интегрируема по Риману.

Техника интегрированияПравить

Основная статья: Методы интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

ПримечанияПравить

  1. Первообразная функции комплексных переменных
  2. 1 2 3 Первообразная // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 237]].
  3. Шибинский, 2007, с. 139—140.
  4. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — С. 57, 51. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6.

ЛитератураПравить

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М.: Наука, 1977. — 872 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.
  • Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.

СсылкиПравить