Первообразный корень из единицы

Первообразный корень (или примитивный корень) степени из единицы в поле ― это такой элемент , что и для любого натурального .

Если ― поле комплексных чисел, то степени первообразного корня образуют циклическую группу корней порядка из единицы.

СвойстваПравить

  • Если в поле   существует первообразный корень степени  , то   взаимно просто с характеристикой поля  .
  • Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
  • Если   ― первообразный корень степени  , то для любого   взаимно простого с  , элемент   также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени   (когда они существуют) равно значению функции Эйлера  .
  • В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:
     ,
    где   взаимно просто с  .

ЛитератураПравить