Открыть главное меню

Передаточная функция

Переда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной для разных систем.

Линейные стационарные системыПравить

Пусть   — входной сигнал линейной стационарной системы, а   — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция   такой системы записывается в виде:

 , где s = jω [рад/с] - оператор передаточной функции,   и   — преобразования Лапласа для сигналов   и   соответственно
 ,
 .

Дискретная передаточная функцияПравить

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть   — входной дискретный сигнал такой системы, а   — её дискретный выходной сигнал,  . Тогда передаточная функция   такой системы записывается в виде:

 ,

где   и   — z-преобразования для сигналов   и   соответственно:

 ,
 .

Связь с другими динамическими характеристикамиПравить

  • АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной   на  :
 .

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функцииПравить

1. Для стационарных систем (т.е систем неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной  :

 .

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции   не может превышать порядка полинома её знаменателя  , то есть  

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене   в   получается комплексная передаточная функция системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде модуля этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как аргумент её.

Матричная передаточная функцияПравить

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы   до вектора выхода   — это матрица  , элемент  -й строки  -го столбца представляет собой передаточную функцию системы от  -й координаты вектора входа системы до  -й координаты вектора выхода.

См. такжеПравить

СсылкиПравить