Перпендикулярность
Перпендикуля́рность (от лат. perpendicularis — букв. отвесный)[1] — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).
Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: ⊥, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых и записывают как .
На плоскости
правитьПерпендикулярные прямые на плоскости
правитьДве прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют 4 прямых угла.
Про прямую перпендикулярную к прямой проведённую через точку вне прямой , говорят, что есть перпендикуляр опущенный из на . Если же точка лежит на прямой , то говорят, что есть перпендикуляр к восстановленный из к (устаревший термин восставленный[2]).
В координатах
правитьВ аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями
и
будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты
Построение перпендикуляра
правитьШаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.
Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.
Координаты точки основания перпендикуляра к прямой
правитьПусть прямая задаётся точками и . На прямую опускается перпендикуляр из точки . Тогда основание перпендикуляра можно найти следующим образом.
Если (вертикаль), то и . Если (горизонталь), то и .
Во всех остальных случаях:
- ;
- .
В трёхмерном пространстве
правитьПерпендикулярные прямые
правитьДве прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямой к плоскости
правитьОпределение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Перпендикулярные плоскости
правитьДве плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
- Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
- Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
- Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
- Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения[3].
В многомерных пространствах
правитьВ разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве
правитьПерпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.
Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.
В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).
Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно : xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).
Перпендикулярность прямой и гиперплоскости
правитьПусть задано n-мерное евклидово пространство (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство , а прямая l с направляющим векторным пространством и гиперплоскость с направляющим векторным пространством (где , ) принадлежат пространству .
Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости , если подпространство ортогонально подпространству , то есть
Вариации и обобщения
править- В теории инверсии вводятся: окружность или прямая, перпендикулярные к окружности .
- В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
- В теории инверсии прямая перпендикулярна к окружности , если она проходит через центр последней.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Словарь иностранных слов. — М.: «Русский язык», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8
- ↑ А. П. Киселёв. Элементарная геометрия / под редакцией Н. А. Глаголева. — 1938.
- ↑ Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. — Висагинас: Alfa, 1998. — С. 46. — 576 с. — (Библиотека школьника). — ISBN 9986582539.