Открыть главное меню

Перпендикулярность

Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых и записывают как .

Содержание

На плоскостиПравить

Перпендикулярные прямые на плоскостиПравить

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

Про прямую   перпендикулярную к прямой   проведённую через точку   вне прямой  , говорят, что   есть перпендикуляр опущенный из   на  . Если же точка   лежит на прямой  , то говорят, что   есть перпендикуляр к восстановленный из   к   (устаревший термин восставленный[1]).

В координатахПравить

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями

 

и

 

будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты

 

Построение перпендикуляраПравить

 
Построение перпендикуляра

Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямойПравить

Пусть прямая задаётся точками   и  . На прямую опускается перпендикуляр из точки  . Тогда основание перпендикуляра   можно найти следующим образом.

Если   (вертикаль), то   и  . Если   (горизонталь), то   и  .

Во всех остальных случаях:

 ;
 .

В трёхмерном пространствеПравить

Перпендикулярные прямыеПравить

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскостиПравить

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскостиПравить

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

  • Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
  • Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
  • Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения[2].

В многомерных пространствахПравить

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространствеПравить

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно  : xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскостиПравить

Пусть задано n-мерное евклидово пространство  (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство  , а прямая l с направляющим векторным пространством   и гиперплоскость   с направляющим векторным пространством   (где  ,  ) принадлежат пространству  .

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости  , если подпространство   ортогонально подпространству  , то есть  

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. А. П. Киселёв. Элементарная геометрия / под редакцией Н. А. Глаголева. — 1938.
  2. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. — Висагинас: Alfa, 1998. — С. 46. — 576 с. — (Библиотека школьника). — ISBN 9986582539.