Перъединичная матрица

Перъединичная матрица (обменная матрица) — квадратная матрица, все элементы побочной диагонали которой равны 1, а остальные — 0 (то есть антидиагональная единичная):

$J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$; $J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$; $J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}$.

С помощью символа Кронекера можно записать определение элементов перъединичной матрицы как $J_{ij}=\delta _{n+1-i,j}$.

Является матрицей перестановки: она переставляет все строки матрицы в обратном порядке, если умножается слева на эту матрицу, и переставляет в обратном порядке столбцы, если умножается справа.

Некоторые свойства:

• $J^{\intercal }=J$;
• $J^{n}=I$ для чётных $n$ и $J^{n}=J$ для нечётных $n$, то есть инволютивна — $J^{-1}=J$;
• $\mathop {\rm {tr}} \;J=1$ для нечётных $n$ и $\mathop {\rm {tr}} \;J=0$ для чётных $n$;
• $(JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}$ и $(AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}$ для произвольной $(n\times n)$-матрицы $A$;
• $\det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}$.

Понятие перъединичной матрицы может использоваться для определения матриц, обладающих определёнными симметриями, например, квадратная матрица $A$ является:

• центросимметричной, если $AJ=JA$;
• персимметричной, если $AJ=JA^{\intercal }$;
• бисимметричной, если одновременно $AJ=JA^{\intercal }$ и $AJ=JA$.

Литература

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Matrix Analysis (англ.). — 2nd edition. — Cambridge University Press, 2012. — P. 33. — ISBN 9781139788885.